F. Dl) Bois-Reyjiond: Über die Integration der Reihen. 365 



Die Function tp(x, e) = ^Vi"? , ' .., • -V,, = shrp-x verschwin- 



det für joden besonderen Werth a; mit e. Wenn aber x 

 rational ist. so kann (p(x.e) bei gegen Null abnehmenden 

 Xj'—x und £ einer Folge von Null verschiedener Werthe sich 

 nähern, die unter um so kleineren Schranken liegen, je 

 grösser der reducirte Nenner der Zahl x. Für irrationale 

 Werthe von x und*£ = o ist <p(x,e) stetig, weil man um jeden 

 irrationalen Werth x ein Intervall abgrenzen kann, in welchem die 

 Nenner der Rationalzahlon beliebig gross sind. Diese Function giebt 

 also : 



lim ( dx ^ n p - ' ''., 2 = Q(x) = o , 

 \ i £ ' i' 



wie man übrigens aueh aus der Bedingung des Hrn. Kroneckkr. jedoch 

 auf Grund anderweitiger Betrachtungen hätte schliessen können. 



Soll Q(x) nicht verschwinden, so müssen im Intervall der Inte- 

 gration Strecken vorhanden sein . in deren beliebig kleinen Abschnitten 

 die Function <p(x,e) bei Verkleinerung von s über eine der ganzen 

 Strecke gemeinsame Schranke sich erhebt, woraus indessen, wie 

 geometrische Betrachtungen lehren, keineswegs umgekehrt folgt, dass 

 alsdann Q(x) stets existirt. Giebt es im Intervall der Integration keine 

 derartige Strecke, kann man vielmehr in jeder Strecke des Intervalls 

 einen Abschnitt linden, in welchem (p(x . e) sich nicht über eine der 

 ganzen Strecke gemeinsame Schranke erheht. so kann man durch 

 ähnliche Schlüsse, wie sie das Vorhandensein der Stetigkeitspunkte 

 in jedem kleinsten Intervall einer integrirbaren Function beweisen, 

 sich vom Vorhandensein von Stetigkeitspunkten der Function (p(x,s) 

 in jedem kleinsten Intervall von x und für s = o überzeugen. Da es 

 nur auf das Verhalten der Function in solchen Strecken ankommt, 

 in welchen sie sich in jedem Abschnitt über eine feste Schranke er- 

 hebt, so wollen wir es als in dem ganzen Integrationsintervall von x 

 stattfindend annehmen. Dann folgt durch eine leichte Überlegung. 

 dass für jeden Punkt x des Intervalls die Function <p(x 1} £) bei geeig- 

 neter Abnahme von x, — x und e über jene Schranke gelangen kann. 



Dieses Verhalten der Function </> (.r . e) ist also die unumgängliche 

 Vorbedingung für die Existenz der Grösse Q(x), wenn <p(x,e) end- 

 liche Schranken nicht überschreiten darf. Sie reicht allerdings nicht aus, 

 wie dies bei Function einer Variabein der Fall ist, damit ihr Integral 

 existire (wo sie aber nicht nothwendig ist), denn nun muss eben noch 

 das Integral an der Grenze e = o wirklich von Null verschieden bleiben. 

 Vor allen Dingen aber spitzt sich das Problem doch nach der Möglichkeit 



