P. du Bois-Reymond: Über die Integration der Reihen. 367 



von Null und unendlich verschieden, so ist lim (/>(#,, e) un- 

 endlich gross. Woraus dann, wie oben bemerkt, gefolgert 

 werden darf, dass für jedes x die Grösse (p(a;,,e) bei geeig- 

 neter Abnahme von x, —x und £ über jede Schranke sich 

 erheben kann. 



Beweis. Wir betrachten zuerst die Function: 



4/(<c, 6 ) = ^f^ — jyy ' Xp = sü)2 P irx 



' r + I 



Es ist lim 4 / { x - £ ) = °- wenn A" von Null verschieden ist. was 



man. wie in dem Beispiel des Art. III. beweist, indem man die Reihe 



>« jl r p r 



in 2 + 2 zerlegt. Setzen wir weiter x = \- — , wo — ein reducirter 



i m+i SS S 



rationaler Bruch, und p vor der Hand beliebig, und verstehen unter p, 

 die durch s nicht theilbaren ganzen Zahlen, so wird: 



Wenn x, mithin p irrational ist, verschwinden beide Theile mit s. 

 Wenn aber p = o ist , so hat man : 



Hm \|/ ( — ,£) = i* s + f* a 



+ 



Denkt man sich sodann unter p eine mit £ verschwindende Function 

 von e, und setzt sin 2 7rp = y-e, so wird, weim 7 mit £ unendlich wird, 

 lim\^(a;,£) verschwinden. Wenn aber 7 nicht unendlich wird, so ist 



lim>f/(ar,e) = j/V 



. sin - p 



1 + lim 1 



TrpV 



von Null verschieden . und giebt für hm 7 = o : (u, + |U 2S + 

 Betrachten wir weiter die Function 



Vis, £) = ^pt p 



^(,. + iy 



so ist für irrationale x ihr Limes ebenfalls Null und für rationale ist 



r p 

 er i* s + ix ls + . . . Ausserdem ist er für x = \- — , und sin 2 icp = 7, £ 2 



