P. du Bois-Reymond: Über die Integration der Reihen. 369 



ziehen wir eine Gerade zum nächsten Punkt X p <X l , und nennen 

 ihn X (,) = sin 2 p (1) 7ra;. Von diesem Punkt ziehen wir eine Gerade 

 wieder zum nächsten Punkt, der eben < A (I) ist, und nennen ihn 

 A <2> = s\n 2 p {2) irx , u. s. f. Dann heisse die polygonale Linie, welche die 

 Punkte X, . A'">. A' ,3) , . . . verbindet: (Untere) Hülle der A>Wer1 he. 

 Falls x rational ist, tritt an Stelle der unteren Hülle der A",, -Werthe 

 eine der z-Axe parallele Gerade, welche die kleinsten von Null ver- 

 schiedenen Werthe A^, verbindet. 



Weiter ziehen wir der Geraden z parallel eine Gerade in der 

 Entfernung- e. welche die Hülle der X p -Werthe in einem Punkt X c = e 

 schneiden wird. 



Wir wollen mm in \^ (x , e) und % (x , e) die Summen theilen in 

 (y)— j =o 



zwei Theüe X und 2 . wo (q) wie folgt zu bestimmen ist: 

 i (?) 



Es sei X® > A\ > X te+I) . Diese Wahl von q ist die Schneide 

 unseres Beweises. Jedenfalls ist nämlich: 



<7)-i 



>2— ? 



i + 



m 



i + 



m 



betrifft, so ist wegen X iq) > X t = s der erste Term der Reihe links 

 dem ersten Term der Reihe rechts, und wenn man nun die \x p so be- 

 stimmt sich denkt, dass wie bei jj. _ = 2~ p das Verhältniss — (\x„ -\- u ,. + . . .) 



V- P 

 weder Null noch unendlich wird, wenn p unendlich wird, so kann 

 auch das Verhältniss 



> , -^ Xp_ _ \>-p 



2- 



jedenfalls nicht unendlich werden. 



Es hat also ' die Form: 



% (* , «) 



U+V 



V 



WO f , > U, und — niclit unendlich wird. Unterscheiden wir die Fälle 



