Fuchs: Über die Umkehrung von Functionen zweier Veränderlichen. 101 



Wir wollen nunmehr :, , z 2 so als Functionen von u, , u 2 be- 

 stimmen, dass durch die Gleichungen (B) y, und w, als blosse Func- 

 tionen der Variablen :,, dagegen y., und «', als blosse Functionen der 

 Variablen z 2 definirt werden. 



Die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, dassy, und w, 

 blosse Functionen von z, werden, ist das Bestehen der Gleichungen 



l Sy, dz, 8y, dz, _ q 



I du, du 2 du 2 du, 



i dw, dz, dw, dz, 



' 3«/, du 2 du 2 du, 



oder, wenn wir setzen 



d*z 2 dz, 



(3) 



P = 



\Q = 



\ R = 

 8 = 



du,du 2 du 

 d 2 z, dz 2 

 du] du 2 

 J^dz 

 du, 3«, du, 



d*z 2 dz, 



du% 3m, 



(C) 



i,p , a ?c < 3 *= P 3 *i d ~* o 3~. 3r 2 



I ou 2 öu 2 du, au 2 ou 2 vu, 



(Ä + .S) — ^ P ^— , Q = o. 



au, ok, au, o«, ou 2 dz/, 



Das Grössenpaar P, Q einerseits und das Grössenpaar R, S an- 

 dererseits haben die Eigenschaft, dass sie sich mit den entgegen- 

 gesetzten Zeichen gegenseitig vertauschen , wenn z, mit z 2 vertauscht 

 wird. Hieraus ergieht sich, dass das Bestehen der Gleichungen (2) 

 oder ((') zu gleicher Zeit die nothwendige und hinreichende Bedingung 

 dafür enthält, dass 3/, undw, blosse Functionen der Variablen z 2 sind. 



Sind demnach die Gleichungen (C) erfüllt, so ist 



(D) ' J ' 



wo /,(;,) und <p l (z l ) blosse Functionen von z,.f,(z.,) und <p 2 {z 2 ) blosse 

 Functionen von z 2 bedeuten. 



Und wenn umgekehrt die (deichungen (D) bestehen, so ge- 

 nügen z,,z 2 den Gleichungen (('). 



