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Über einen Satz aus der Theorie 

 der algebraischen Functionen, und über eine An- 

 wendung desselben auf die Differentialgleichungen 

 zweiter Ordnung. 



Von L. Fuchs. 



In den Sitzungsberichten 1 habe ich den Satz bewiesen, dass eine 

 algebraische RiEMANN'sche Fläche, welche eine algebraische Involution 

 zulässt, durch eine rationale eindeutig umkehrbare Substitution in eine 

 zweiblättrige RiEMANN'sche Fläche verwandelt werden könne. Es ist 

 nicht überflüssig hervorzuheben, dass ich daselbst stillschweigend von 

 der Voraussetzung ausgegangen bin, dass zwischen den Perioden vi 

 und a kl der von Riemann in seiner Theorie der AßEi/schen Functionen 2 

 eingeführten Normalintegrale erster Gattung keine Relation mit 

 ganzzahligen C'oefficienten stattfindet. Im Folgenden soll 

 diese Voraussetzung näher erörtert werden, indem ich zeige, dass das 

 Vorhandensein einer Involution (s , z) , (er , Q in einer RiEMANN'schen 

 Fläche (s,z) im Allgemeinen zur Folge hat, dass diese Fläche durch 

 eine eindeutig umkehrbare rationale Substitution — wenn nicht in 

 eine zweiblättrige — in eine solche RiEMANN'sche Fläche (t,u) trans- 

 formirbar ist, für welche die Stellen (t,u) und ( — t, — u) der Invo- 

 lution (s , z) , (tr , £) der ursprünglichen Fläche entsprechen. 



Von den Resultaten der oben erwähnten Notiz 3 habe ich 4 eine 

 Anwendung auf die linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung 

 gemacht, indem ich die Bedingungen dafür entwickelte, dass die 

 Wert heu [innre (s, , 2,) , (&, , £ 2 ) , welche der Gleichung 



/(*, , *,) <K S 2 , ~ 2 ) — /(*i » s a ) <P(s t , ~.) = o 

 genügen, zu gleicher Zeit die Differentialgleichungen 



1 1886. .luli 22. S. 797. 



3 Bobch. .lourn. B. 54, Nr. 18. 



3 Sitzungsberichte iN S( '. S. 797. 



' Kboneckeb Journ. B. 100, S. 189. 



