Koenigseerger: Irrediictibilität von Fiinctionalgleichungen u. s.w. b/3 



Überhaupt reductibel ist, und ähnliche Sätze. Ferner wird ein 

 Verfahren durchgeführt, nach welcliem für eine Gleichung 

 fo(-r)>/" +/.('i')/-' + . . . -i-f„-^v)i/ +f„{x) = o, 



deren Coefficienten sämmtlich innerhalb eines von einer geschlossenen 

 Curve c einfach begrenzten Raumes T endlich, eindeutig und stetig 

 sind, wenn die üiscriminante derselben eine endliche oder unendliche 

 Anzahl von Lösungen hat, vermöge einer Substitution in Form einer 

 Potenzreihe eine Reduction auf eine Gleichung möglich wird, welche 

 die sämmtlichen mehrfachen Punkte der gegebenen Gleichung als 

 Lösungen des letzten Coefficienten enthält, so dass man wiederum, wie 

 ich dies für algebraische Functionen gezeigt habe", von den dort näher 

 bezeichneten Fällen abgesehen , aus der Form der Coefficienten der 

 Gleichung selbst auf die Zahl der Cyklen und die Anzahl der Elemente 

 eines jeden Cyklus schliessen kann. 



Indem ich mich nun zunächst zur Irreductibilitätsuntersuchung 

 linearer Differentialgleichungen wende . deren Coefficienten ganze Func- 

 tionen der unabhängigen Variabein sind, und zwar in dem Sinne, 

 dass eine solche Differentialgleichung irreductibel ist, wenn sie mit 

 keiner linearen Differentialgieiehung niederer Ordnung, deren Coeffi- 

 cienten ebenfalls ganze Functionen sind , ein Integral gemein hat, liefert 

 zunächst ein Verfahren, das der ersten EisENSTEm'schen Zerlegungs- 

 methode für Zahlengleichungen analog ist, die noth wendigen und hin- 

 reichenden Bedingungen für die Reductibilität einer solchen Differential- 

 gleichung, und es ergiebt sich mit Hülfe derselben z. B. der später 

 verallgemeinerte Satz, dass jede lineare Differentialgleichung 

 von der Form 



(x-uY^^' GM)!/"'+ i^v-uY^^' Cr, {x)>j"+ {X - uY^' CU^v)i/'+ G,ix)y = o, 

 in welcher G„(x) , G,(x) , G^(x) , G^{x) beliebige ganze Functionen 

 von X darstellen, G^{x) und G^{oi.) von Null verschieden sind 

 und p eine beliebige positive ganze Zahl bedeutet, in dem 

 angegebenen Sinne irreductibel ist. 



Indem wir jedoch gleich zu linearen Differentialgleichungen über- 

 gehen , deren Coefficienten in der Umgebung eines Punktes a, conver- 

 girende Potenzreihen sind, also die Normalform besitzen 



+ (.r — oc) %s„_, (x—a) y ' + «P„ {x — a.)y=o, 

 und die Reductibilität derselljen dadurch definiren, dass sie mit einer 

 linearen Differentialgleichung, deren Coefficienten ebenfalls Potenzreihen 

 in der Umgebung von a sind, ein Integral gemein hat, so ergiebt sich 



Diese Berichte. November 1898. 



