Koenigsberger: Irreduetibilität von Fimctionalgleichungen u. s. w. b< 5 



gemein haben kann, werden zur Herleitung der allgemeinen Gesetze 

 die beiden Hülfstheoreme vorausgeschickt, wonach eine lineare Diffe- 

 rentialgleichung von der Form 



(X- — ä)""*""°<P,U- — «)/'' + Uv — u)"~''^'''%i,(x — oc)/'~'' + . . . 



H-(^ — ä)'"^""— «P„_,(a' — a)y'+^:p„(.r — Ä)i/ = o, 



n welcher ^, , pi, , . . . \J.„_^>Ua sind, nur mit einer gleichartigen 



Differentialgleichung, deren Ordnung > — ist, alle Inte- 



grale der letzteren gemein haben kann, und dass, wenn ju^, 

 eine ungerade Zahl, die Ordnungszahl der Differentialglei- 

 chung niederer Ordnung nicht gleich — sein kann. 



2 



Daraus folgen aber die Sätze, dass die Differentialgleichung 



^-(.r— a)'"^"''-^\_,(.i'— ^)(/'+^13„(-i-— ^)y = o, 



in welcher in, . ju, , .. . |ia„_, >; 4 sind, für ungerade n stets irreduc- 

 tibel ist; wenn die Ordnung der Differentialgleichung jedoch 

 eine gerade, so kann sie, wenn n ^ o mod. 4, nur mit einer 



gleichartigen Differentialgleichung von der Ordnung — , — 



4 4 



oder — , ist n jedoch nur durch 2 und nicht durch 4 theil- 



4 

 bar, nur mit einer Differentialgleichung von der Ordnung 



n 



— alle Integrale der letzteren gemein haben, und ähnlich er- 



2 



giebt sich, dass die Differentialgleichung 



in welcher f^j , |U, , . . . /a„_j > 5 sind, stets irreductibel ist, wenn 

 n eine durch 5 nicht theilbare Zahl ist; wenn die Ordnung 

 jedoch ein Vielfaches von 5, so kann die Differentialglei- 



1 . . n . 1 ^ n 271 VI ^n'"" 



chung nur mit einer gleichartigen von der — , — , — , — 



5 5 5 5 

 Ordnung alle Integrale der letzteren gemein haben. 

 Ähnliche Sätze gelten für jeden Werth von fj.^. 

 Nachdem früher gezeigt worden, dass jede lineare Differential- 

 gleichung in eine andere transformirt werden kann , für welche jj.^ = o 

 und welche beide zugleich reductibel und irreductibel sind, so dass 

 die in den oben ausgesprochenen Sätzen zu C4runde gelegte Form keine 



