Koenigsberger: Irreductibilität algebraischer Difterentialgleichungen. V85 

 Hat nun eine lineare homogene Diiferentialgleicliung 



(6) P = %sJx — ci)i/"^ + %^,{x — ci)/'-'^ + ...+%\„(x — x))/ = o 



in der Umgebung von x ^ oc mit keiner gleichartigen linearen homo- 

 genen Differentialgleichung niederer Ordnung ein Integral gemein — 

 hat sie also auch kein in et, eindeutiges und ausserwesentlieh discon- 

 tinuirliches Integral — und besitzt dieselbe mit einer gleichartigen linea- 

 ren nicht homogenen Differentialgleichung 



(7) Q = a(a.-— «)/■) + ü,(a'— a)?/<'— ' + . . . -h QAx—cc)y + 0(^_ ^) = o 



ein gemeinsames Integral, wobei zugleich angenommen Averde. dass 

 die Differentialgleichung (7) die lineare nicht homogene niedrigster 

 Ordnung ist, welcher dieses Integral angehört, so werden nach dem 

 oben bewiesenen Satze sämmtliche Integrale von (7) die Differential- 

 gleichung (6) befriedigen , also auch die Differenz zweier solcher, welche 

 aber ein Integral der reducirten Differentialgleichung 



(8) Ü„(.r — a)/' + 0,(x — ^)y'->+ . . . +Q„(.r — a)y/ = o 



sein Avürde, was gegen die Voraussetzung verstösst, dass die homo- 

 gene Differentialgleichung (6) in der Umgebung von x = x mit keiner 

 homogenen niederer Ordnung ein Integral gemein haben sollte. 



Ist also eine lineare homogene Differentialgleichung nach 

 der früheren Definition, mit keiner gleichartigen linearen 

 homogenen Differentialgleichung niederer Ordnung ein In- 

 tegral gemeinsam zu haben, irreductibel, so ist sie es auch 

 in dem oben erweiterten Sinne, oder, anders ausgedrückt, ist 

 eine lineare homogene Differentialgleichung reductibel von der Art, 

 dass sie mit einer nicht homogenen linearen Differentialgleichung nie- 

 derer Ordnung ein Integral gemein hat, so wird sie auch mit einer 

 homogenen linearen Differentialgleichung niederer Ordnung ein ge- 

 meinsames Integral besitzen , und wenn Q = o die homogene lineare 

 Differentialgleichung niedrigster Ordnung ist, welche dieses Integral 

 mit P^o gemein hat, so wird, weil dann in der Reductionsformel 

 (i) ü, ^ o sein muss, jedenfalls eine lineare homogene Diffe- 

 rentialgleichung existiren, welche alle Integrale mit der ge- 

 gebenen homogenen reductibeln Differentialgleichung ge- 

 mein hat. 



Ebenso kann eine lineare niclit homogene Differentialgleichung, 

 wenn sie ein Integral mit keiner linearen nicht homogenen Differen- 

 tialgleichung niederer Ordnung gemein hat. auch mit keiner homo- 

 genen linearen Differentialgleichung niederer Ordnung gemeinsam dieses 

 Integral besitzen; denn da die Annahme die Existenz eines in cc ein- 

 deutigen und ausserwesentlieh discontinuirlichen Integrales ausschliesst. 



