786 Gesammtsitziing vom 26. October. 



SO würden, wenn die homogene Differentialgleichung gleich wieder die 

 möglichst niedrige Ordnung besitzt, alle ihre Integrale, also auch y = o 

 der linearen nicht homogenen Differentialgleichung genügen, was nicht 

 der Fall ist. Ist also eine nicht homogene lineare Differentialgleichung 

 reductibel von der Art, dass sie mit einer homogenen Differential- 

 gleichung niederer Ordnung ein Integral gemein hat, so wird sie auch 

 mit einer nicht homogenen linearen Differentialgleichung niederer Ord- 

 nung das gemeinsame Integral besitzen , und zwar wird wieder die 

 lineare Differentialgleichung niedrigster Ordnung, welche dieses Integral 

 hat, eine nicht homogene sein, weil, wenn wir den Fall des eindeu- 

 tigen und ausserwesentlich discontinuirlichen Integrales aussehliessen, 

 die Annahme, dass die Differentialgleichung niedrigster Ordnung ho- 

 mogen sei, wieder auf das Integral ?/ = o für die nicht homogene 

 Differentialgleichung führen würde , und wir finden somit, dass eine 

 reductible homogene lineare Differentialgleichung jeden- 

 falls mit einer homogenen niederer Ordnung und eine re- 

 ductible nicht homogene Differentialgleichung, vorausge- 

 setzt, dass sie in der Umgebung von cc kein eindeutiges, 

 ausserwesentlich discontinuirliches Integral besitzt, mit 

 einer nicht homogenen niederer Ordnung alle Integrale der 

 letzteren gemein haben, also eine entsprechende Zerlegung 

 in der Form (5) statthaben muss, dass also, wenn diese als 

 unmöglich erwiesen, die vorgelegte lineare Differential- 

 gleichung irreductibel ist. 



Hat nun aber eine nicht homogene lineare Differentialgleichung 

 mit einer nicht homogenen niederer Ordnung alle Integrale der letz- 

 teren gemein, so zeigt die Differenz zweier gemeinsamer Integrale, 

 dass auch die sämmtlichen Integrale der reducirten homogenen Dif- 

 ferentialgleichung der letzteren Integrale der reducirten der ersteren sind, 

 dass also, wenn die reducirte Differentialgleichung einer 

 nicht homogenen linearen Differentialgleichung, die in der 

 Umgebung von iC = c6 kein eindeutiges, ausserwesentlich dis- 

 continuirliches Integral besitzt, irreductibel ist, es auch 

 die nicht homogene Differentialgleichung sein muss, weil 

 die Zerlegbarkeit dieser auch die Zerlegbarkeit jener nach sich ziehen 

 würde; es ist aber unmittelbar zusehen, dass die Irreductibilität der 

 reducirten Differentialgleichung mit der durch Existenz eines eindeuti- 

 gen ausserwesentlich discontinuirlichen Integrales bewirkten Reducti- 

 bilitcät der nicht homogenen Differentialgleichung wohl vereinbar ist, 

 da man nur ein solches Integral in die linke Seite der reducirten Dif- 

 ferentialgleichung zu substituiren braucht, um die rechte Seite einer 

 solchen nicht homogenen Differentialgleicliung zu finden. 



