Koenigsberger: Irreductibilität algebraischer Dift'erentialgleichungen. 787 



Dagegen kann die reducirte homogene Differentialgleichung reduc- 

 tibel sein, während die nicht homogene irreductibel ist; um dies zu 

 beweisen , will ich an einem Beispiele gleich hier eine Untersuchungs- 

 methode anwenden, die im Allgemeinen die Reductibilität und Irre- 

 ductibilität einer algebraischen Differentialgleichung festzustellen ge- 

 stattet; ist also z. B. zu entscheiden, ob die Differentialgleichung 



(9) ■r'}/"+ 2xhj'—y+pix) = o , 



in welcher p(x) eine nach positiven, steigenden, ganzen Potenzen von 

 X fortschreitende Reihe bedeutet, in der Umgebung des Punktes x ^ o 

 reductibel ist, so wird die Möglichkeit der in y,y',y" identischen Be- 

 ziehung 



( lo) sx{xf\xuj" -\- 2.1-3?/'— y+|j(.i;)] =A-*a{x)—[a(.T)//'+o,(A')i/+?(a-)] 



+ <ji\x) [Oo(^)y'H- ü, {■x)y + ?(*■)] 



untersucht werden müssen, worin Q„(a:') , Q,(a;) , g(a?) , ü)i(j') um x -^ o 

 herum couvei'girende Potenzreihen sind. Werden nun die Functionen 

 Do(x),Q,(;i-), g(.r) in xz=.o von der Aj"", A/'", ^,*™ Ordnung Null, so 

 liefert die Identificirung der Coefficienten von y' und y in der Gleichung 

 (lo) als niedrigste Gradzahlen der Coefficienten der einzelnen Posten 

 die Zusammenstellung 



(11) 3 + ^o > 3 + '^o , 4 + ^i > i"i 



(12) 2A„, 3+A„ + Aj, ]x^-\-\\ 



sei nun zunächst Aj > A^ — i , so dass 4 + Aj > 3 + A^ ist , so folgt aus 

 (11), dass M, ^34-Ao, und die Gradzahlen in (12) würden dann die 

 Form annehmen 



2A„, >2A„+2, ^2A3+2, 



was unmöglich ist; wenn dagegen Aj < A^ — i , so wird die Zusammen- 

 stellung (11) in 



> Aj + 4 , > A, + 4 , ^j 



übergehen und somit ,Uj = A, + 4 folgen, woraus sich nach (12) die 

 Reihe der Gradzahlen 



2\, >2Aj + 4, 2Aj + 4, 



also 2Ao=:2Aj + 4 oder A,, =: ?.j + 2 ergiebt, welche Beziehung, mit 

 f^j :=: A, H- 4 zusammengestellt, wie unmittelbar aus (10) zu ersehen, 



0^(.r) =: .T% Qj(x) = rt I , <J-\{x) = qra-'' 



liefert und die Functionen q{x) und j){x) durch die Gleichungen mit 

 einander verbindet 



