/ h8 Gesainmtsitzung vom "26. October. 



, dq{x) , ^ dq{x) 

 X — — \-q{x)=2^{x) oder x^ — ~ q{x) ^ 2^{x). 



Wählt man nun z.B. p[x) ^= x'' , so lässt sich oftenbar keins der In- 

 tegrale q{x) dieser Differentialgleichungen in eine nach ganzen positiven 

 Potenzen von x fortschreitende Reihe entwickeln; es kann somit die 

 reducirte homogene Differentialgleichung zerlegbar sein , wie in unserem 

 Falle 



„ , f. d , 



x\x'y + 2X^y—y) = x'^{xf ±y)=px\x'y ±y), 



während die ursprüngliche, nicht homogene, wie hier 



x*>/"+ 2x^1/' — y + x' ^ o, 



irreductibel ist, da dieselbe, wie man leicht sieht, ausserdem kein in 

 der Umgebung von x = o eindeutiges und ausserwescntlich disconti- 

 nuirliches Integral besitzt. 



Mit der Irreductibilität der reducirten Difterentialgleichung ist 

 somit auch die Irreductibilität der nicht homogenen Difterentialglei- 

 chung festgestellt , wenn die Nichtexistenz in der Umgebung von x = a, 

 eindeutiger und ausserwesentlich discontinuirlicher Integrale nachge- 

 wiesen ist; ist dagegen die reducirte Difterentialgleichung reductibel, 

 so muss die nicht homogene Difterentialgleichung selbst in Betreft" ihrer 

 Reductibilität oder Irreductibilität untersucht werden. 



Hiernach werden die in meiner letzten Arbeit^ für die Irreducti- 

 bilität homogener linearer Dift'erentialgleichungen aufgestellten Sätze 

 mit genauer Beibehaltung der Form des homogenen Theiles und be- 

 liebig gewähltem freien Gliede p(x — a), welches nur der Beschrän- 

 kung unterworfen ist, dass die nicht homogene Difterentialgleichung 

 keine in der Umgeliung von x ^ d eindeutigen und ausserwesentlich 

 discontinuirlichen Integrale besitzt, sämmtlich bestehen bleiben, und es 

 wird z. B., um nur zwei der Sätze hervorzuheben, die lineare Diffe- 

 rentialgleichung 



+ (x — ci)'-+'%^,_,{x — oL)y'+%^^{x — c>.)y + %^{x — a.) = o, 



in welcher ^„(o) und ^„(o) von Null verschieden sind, und 

 p eine beliebige positive ganze Zahl bedeutet, irreductibel 

 sein, ebenso die Differentialgleichung 



(.f — ar+=^;\(a' — a)^''» + {.T — a)"+ = «P,(a; — cc)?/<"-') + . . . 



+ {x — aY%\_,(x — ci)y' -\-^„{x — a.)y + %\{x — a.) = o, 



^ Sitzungsberichte vom 20. Juli 1899; die Beweise der dort ausgesprochenen 

 Theoreme werden in den mathematischen Annalen veröflfentUcht werden. 



