Koenigsberger: Irreductibilität algebraischer Differentialgleichungen. 789 



in welcher ebenfalls ^o(o) und ^„(o) von Null verschieden 

 sind und n eine nicht durch 3 theilbare ganze Zahl ist, vor- 

 ausgesetzt, dass diese Differentialgleichungen kein in der 

 Umgebung von x = cc eindeutiges und ausserwesentlich dis- 

 continuirliches Integral besitzen, u. a. m. 



Nachdem diese Bemerkungen vorausgeschickt worden, die sich 

 natürlich auch aus der Zerlegungsformel (i) selbst ableiten lassen, 

 können wir nunmehr zur Untersuchung der Form der allgemeinen 

 irreductibeln algebraischen Differentialgleichungen übergehen. 



Seien zwei Differentialausdrücke 



(13) P = F(a- — oi,y,y', ...y») 



(14) Q= /(.r-^,y, /,.../') 



gegeben, worin F und / ganze Functionen von y , y' , y" , . . . bedeuten, 

 deren Coefficienten nach ganzen Potenzen von x — a fortschreitende 

 Reihen sind , welche negative Exponenten nur in endlicher Anzahl ent- 

 halten, und werde gleich von vorn herein vorausgesetzt, dass F und /in 

 Bezug auf y'"' bez. j/'' algebraisch irreductibel sind. Da sich durch suc- 

 cessive Differentiation von (14) y^'"^^K y^'"^'\ • ■ ■ J^'"' als ganze Functionen 



von -^— , . . . —3 — ^— ergeben , deren Coefficienten rationale Functionen 

 dx dx" " 



von y,y',... y' ' sind, die in Bezug auf a; — ob wieder gleichartig mit Q, 



und deren gemeinsamer Nenner, wie man leicht sieht, 



8/(x — fl6,y,y ',.../ ■'') 



ist, worin im Allgemeinen 



5 = 2""'"' oder .s := 2""" — I 



ist, je nachdem Q in Bezug auf y'"' vom ersten oder von höherem Grade 

 ist , so wird sich für eine beliebige Function y der Differentialausdruck P 



1 TT .• ^Q ^""''9 • 1 17 1 •■ 1 1 



als ganze i^ unction von — ,— , . . . — , — -^^ in der h orm ausdrucken lassen 

 dx dx ■' 



M. dO , ,d^—Q 



= ^(x — ci.y,y , ...y^"')-hp,(A- — x)-y -+... + p„_,(^- — oc)—^^- 



(Lr dx 



. dQ ,dq , ^ ,.dQ - , JdQ\ 



