790 Gesanimtsit/.iing vom 2i]. October. 



worin t> eine ganze Function von y ,?/',.. .?/'"' ist, in x — ^gleichartig 

 mit den Coefficienten in P und Q, und die Functionen 



Oj {x — a) , p^ {x — ci) , . . . Co, (,r — a) , . . . 



ebenfalls nach ganzen Potenzen von x — u fortschreitende Reihen sind, 

 welche nur eine endliche Anzahl negativer Potenzen von x — ot enthalten. 

 Nehmen wir nun an , dass die algebraischen Diiferentialgleichungen 



(i6) P = F{x-u,i/,y',...i/^''^) = o, 



(17) Q=/(.f — Ä,y/,y', .../') = o 



ein Integral gemein haben, welches in der Umgebung von x ^ oc 

 weder einer algebraischen Gleichung genügt, deren Coefficienten nach 

 ganzen positiven Potenzen von x — oc fortschreitende Reihen sind, 

 welches also den Charakter einer algebraischen Function hat, noch 

 eine algebraische Differentialgleichung mit, denen von P und Q, gleich- 

 artigen Coefficienten von niederer Ordnung als der v*™ befriedigt, so 

 muss vermöge der Beziehung (15) dasselbe Integral auch der Diffe- 

 rentialgleichung 



^{x — Ci, y , >/'.. ../■') = o 



genügen ; der Differentialausdruck $ wird also nach der für Q = o 

 gemachten Annahme identisch verschwinden müssen, wenn er von 

 niedrigerer Ordnung als der v'™ ist; ist er jedoch von der v'°" Ord- 

 nung, so kann er zunächst in Bezug auf y*"' nicht von niedrigerem 

 Grade sein als Q, weil, wenn die beiden Differentialausdrücke $ und Q 

 als Polynome von y*' aufgefasst und zwischen ihnen nach der Me- 

 thode des grössten gemeinschaftlichen Theilers verfahren wird, sich 

 einerseits ein solcher nicht ergeben darf, weil die algebraische Irre- 

 ductibilität von Q in Bezug auf y^'' vorausgesetzt war, andererseits ein 

 von y'* freier Rest, also ein Differentialausdruck v — i'" Ordnung, der 

 gleichartig mit den gegebenen Differentialausdrücken ist, gegen die 

 Voraussetzung für das gemeinsame Integral verschwinden müsste. Es 

 bleibt also nur die Annahme übrig, dass $ in Bezug auf?/*"* von dem- 

 selben oder höherem Grade als Q ist; da aber dann die Elimination 

 von //'"* zwischen # = o und Q = o auf eine gleichartige algebraische 

 Differentialgleichung v — i'" Ordnung führen würde, welcher wiederum 

 gegen die Voraussetzung das gemeinsame Integral genügen würde, so 

 muss * das Polynom Q als Factor enthalten, und es wird sich somit 

 unter der gemachten Annahme, dass die Differentialgleichungen (16) 

 und (17) ein Integral von nicht algebraischem Charakter mit einander 

 gemein haben, Avelches nicht schon einer gleichartigen algebraischen 

 Differentialgleichung niederer Ordnung als der v'"'" genügt, die in ?/ 

 und dessen Ableitunsren identische Bezieh vmg ergeben 



