Koenigseerger: Irrediictihilität algeliraisclier Difterentialgleichungen. iuL 



dQ\' ^ du d'-'Q 



di/'^J ^° '^ ^"' dx '"-' ' ' dx"-'' 



+ p,,{x — u)i/Q + c,,(x — ^)!/'Q + . . ■ + p...o{x — «)y'Q + Po(^i' — oc) Q" 



dO , dO 



— + p^^ix-.)y-- 



■ p,„ {X — et) 1/^"' -— + c,{x — x)Q-— + p,{x — ci)\ —- 

 dx dx \ dx 



und mau erkennt unmittelbar aus der Form dieser identischen Be- 

 ziehung, dass sämmtliche Integrale der Differentialgleichung 

 (17), von den singulären abgesehen, auch die Differential- 

 gleichung (16) befriedigen werden. 



Bemerkt man endlich , dass , wenn alle Integrale der Differential- 

 gleichung Q = o der Differentialgleichung P = o genügen , diese sämmt- 

 lich auch vermöge der Gleichung (15) der Dififerentialgleichvuig 



^{x — cc,y,ij', .../'*) = o 



genügen müssen, so ist unmittelbar ersichtlich, dass * weder von nie- 

 derer Ordnung als der v'"" noch von der Z™ Ordnung und niederem 

 Grade in Bezug auf 3/'"* als Q sein kann, dass aber auch ferner, wenn 

 * in Bezug auf y*"* von demselben oder höherem Grade als Q ist, Q 

 als Polynom von ?/'"' aufgefesst in «i» enthalten sein muss, weil sonst 

 auch der Rest alle Integrale von Q = o l)esitzen müsste, und wir fin- 

 den somit, dass die Gleichung (18) die nothwendige und hin- 

 reichende Bedingung dafür liefert, dass alle Integrale der 

 Differentialgleichung Q = o, von den singulären abgesehen, 

 auch der Differentialgleichung P^o Genüge leisten. 



Nennen wir nunmehr eine algebraische Differentialglei- 

 chung A^on höherer Ordnung als der ersten, welche in Be- 

 zug auf den höchsten Differentialquotienten algebraisch 

 unzerlegbar angenommen wird, in der Umgebung von » irrc- 

 ductibel, wenn dieselbe in x = x kein Integral mit einer 

 gleichartigen algebraischen Differentialgleichung niederer 

 Ordnung gemein hat, so ist zunächst wiederum leicht zu sehen, 

 dass dieselbe auch weder mit einer anderen gleichartigen Differential- 

 gleichung von derselben Ordnung, aber niederen Grades in Bezug auf 

 den höchsten Differentialquotienten ein Integral gemein haben, noch 

 ein Integral von algebraischem Charakter besitzen kann, und es folgt 

 daraus unmittelbar, dass, wenn eine solche irreductible Diffe- 

 rentialgleichung mit einer gleichartigen Differentialglei- 

 chung höherer Ordnung, oder derselben Ordnung aber höhe- 



