792 Gesamintsitzmig vom 2(3. October. 



ren Grades in Bezug auf den liöchsten Differentialquotienten 

 ciu Integral geraein hat, alle ihre Integrale in der Umgebung 

 von OL jener Differentialgleichung genügen werden, da das 

 gemeinsame Integral einerseits nicht den Charakter einer algebraischen 

 Function haben kann, weil ein solches stets einer gleichartigen Diffe- 

 rentialgleichung erster Ordnung Genüge leistet, andererseits auch der 

 Annahme der Irreductibilität zufolge nicht der Differentialgleichung 



genügen kann. 



Sei nun eine algebraische Differentialgleichung vi'" Ordnung 



(19) i? = r{x — <£)-\-i\{x — ci)y + r,(x — a)y' ■\- . . . + r„(;i: — a)?/'"' 

 + ?'oo(^ — ^)''f-\-i\i (■'*■ — ^)yy' + • • • + '>'n-,n{x — o6)y"~'y"* 



+ =0 



gegeben , in welcher r , i\,i\, . . . 7-^,, , . . . nach ganzen Potenzen von 

 x — oc fortschreitende Reihen darstellen, welche negative Exponenten 

 nur in endlicher Anzahl enthalten, so soll diese wieder eine homo- 

 gene genannt werden, wenn sie kein von der Function y und deren 

 Ableitungen freies Glied besitzt oder wenn ?^{x — u) identisch Null ist. 

 Hat nun eine homogene algebraische Differentialgleichung n^" Ord- 

 nung P ^ o , die Avir stets als algebraisch irreductibel in Bezug auf 

 den höchsten Differentialquotienten voraussetzen, mit keiner gleich- 

 artigen homogenen Differentialgleichung niederer Ordnung ein Integral 

 gemein, hat sie also auch kein Integral, das in a den Charakter einer 

 algebraischen Function besitzt, habe dieselbe jedoch mit einer gleich- 

 artigen nicht homogenen Differentialgleichung f'"' Ordnung (v < ti) 



Q= Q + q(A' — c^) = o, 



worin Q den homogenen Theil des Diff'erentialausdruckes Q bedeutet, 

 ein gemeinsames Integral, so wird die durch Differentiation herge- 

 leitete Differentialgleichung v + i'"' Ordnung 



Q' = Q'-hq'{x — x) = o 



durch denselben Werth von y befriedigt werden, also auch die homo- 

 gene Differentialgleichung 



(20) 'Q = Q'q{x — cc) — Qq'{x — ci) = o, 



welche von der v-|-i""' Ordnung ist und y'"*"'' nur in erster Potenz 

 enthält. Nun kann zunächst v nicht kleiner als n — i, also i/ + i<n 

 sein, da sonst die homogene Differentialgleichung n'" Ordnung mit 

 einer homogenen Differentialgleichung niederer Ordnung ein Integral 

 S'emein hätte, und es bleibt somit nur der Fall v = n — i zu unter- 



