Koenigsberger: Irreductibilität algebraischer Differentialgleichungen. 793 



suchen; dann wird aber die homogene Difl'erentialgleicliung {20) von 

 der r*'^" Ordnung und in Bezug auf y*"* vom ersten Grade sein. Da 

 sich aber wieder _y*"* nicht zwischen dieser und P = o eliminiren lassen 

 darf, weil sich sonst gegen die Voraussetzung für dasselbe Integral 

 eine homogene Difl'erentialgleichung n — i'" Ordnung ergeben würde, 

 so wird in Folge der algebraischen Irreductibilität von P = o in Be- 

 ziehung auf ?/*"* 



P= q'q{x-oL)-qq'(x-ct) 

 folgen, und daher die Integrale der homogenen Difl'erentialgleichung 

 n — i'" Ordnung Q =1 o der Difterentialgleichung P = o genügen, was 

 wiederum gegen die Annahme ist. Es ist somit ersichtlich, dass, 

 wenn eine homogene Differentialgleichung reductibel ist von der Art, 

 dass sie mit einer nicht homogenen Difierentialgleichung niederer Ord- 

 nung ein Integral gemein hat, dieselbe auch mit einer homogenen 

 Differentialgleichung niederer Ordnung ein gemeinsames Integral be- 

 sitzen wird. Und ist Q :^ o die homogene Differentialgleichung nie- 

 drigster Ordnung, welche dieses Integral mit P = o gemein hat, so 

 folgt, dass jedenfalls eine homogene algebraische Differen- 

 tialgleichung existirt, welche mit einer gegebenen homo- 

 genen reductibeln Differentialgleichung in der durch (18) 

 dargestellten Zerlegungsform steht, vorausgesetzt, dass 

 kein Integral der reductibeln Differentialgleichung in der 

 Umgebung von x = a, den Charakter einer algebraischen Func- 

 tion hat, dass also, wenn eine solche Zerlegung als unmög- 

 lich erwiesen ist, die homogene algebraische Differential- 

 gleichung irreductibel ist, wjihrend wir, wenn eine Bezie- 

 hung von der Form (18) besteht, sagen werden, die Diffe- 

 rentialgleichung P^o ist auf die Differentialgleichung 

 niederer Ordnung Q = o reductibel. 



Wenn nun eine nicht homogene Diflferentialgleichung ein Integral 

 mit keiner nicht homogenen Differentialgleichung niederer Ordnung 

 gemein hat, dagegen ein solches gemeinsam hätte mit einer homo- 

 genen Differentialgleichung niedrigster Ordnung Q = o , so würde in 

 der Zerlegungsform (18), da der algebraische Charakter des Integrals 

 wieder durch die Annahme ausgeschlossen ist , y = die rechte Seite 

 verschwinden machen und daher, daP^O eine nicht homogene Dif- 

 ferentialgleichung ist, 



?if{x — ot,,y,y', ...y'"') 



für >/ = o selbst Null werden müssen, woraus sich, wie leicht zu 

 sehen, ergiebt, dass, wenn eine nicht homogene Differential- 



