794 Gesammtsitzung vom 2(>. October. 



gleich ung ein Integral mit keiner nicht homogenen Diffe- 

 rentialgleichung niederer Ordnung gemein hat, sie dieses 

 Integral nur mit einer solchen homogenen Differentialglei- 

 chung niederer Ordnung v gemein haben kann, in welcher 

 der Coefficient der ersten Potenz von y^"^ selbst homogen in 

 Bezug auf?/,?/',...?/*""'' ist. 



Ist also eine nicht homogene Differentialgleichung reductibel von 

 der Art, dass sie mit einer homogenen Differentialgleichung niederer 

 Ordnung, für welche der eben bezeichnete Coefficient nicht homogen 

 ist, ein gemeinsames Integral besitzt, so wird sie auch mit einer nicht 

 homogenen Difl'erentialgleichung* niederer Ordnung dieses Integral ge- 

 mein haben, und es ergiebt sich somit, dass eine nicht homo- 

 gene reductible algebraische Differentialgleichung jedenfalls 

 mit einer nicht homogenen algebraischen Differentialglei- 

 chung oder einer homogenen Differentialgleichung niederer 

 Ordnung, in welcher der Coefficient der ersten Potenz der 

 höchsten Ableitung wiederum homogen ist, in der durch die 

 Zerlegungsform dargestellten Beziehung stehen wird, vor- 

 ausgesetzt, dass diese Differentialgleichung in der Umge- 

 bung des betrachteten Punktes nicht Integrale von algebrai- 

 schem Charakter besitzt, dass also, wenn eine solche Zer- 

 legung als unmöglich erwiesen ist, die algebraische nicht 

 homogene Differentialgleichung irreductibel sein muss. 



Sei nun eine algebraische Differentialgleichung d" Ordnung ge- 

 geben, die nach homogenen Functionen der abhängigen Variabein und 

 deren Ableitungen geordnet Coefficienten besitzen möge, welche nach 

 ganzen positiven Potenzen von x — a fortschreitende Reihen sind, also 

 die Form habe 

 r{ic — oL) + r^{j: — ob)y + i\{x — a)y'-\- . . . + r„(.r — c^)//"' 



+ /-„,(.r — fit)/ + ?•„,(.»• — a)?/i''+ . . . + r„_,„(.r — ;/.)/"-'>?/'"> 



= o. 



so kann dieselbe, indem 

 I 



-{x — ccYy^''' statt /' 



substituirt wird, durch Multiiilication mit einer passenden jiositiven 

 ganzen Potenz von .c — oc in die Normalform übergeführt werden 



s{x — a) + s,-, (.(■ — ci)y + s,{x — a.) (.r — fli)//'+ •<. (•(" — ^) (a' — «*)"y "+ • • • 



+ s„{x — oc)(x — ci.)"y^"^ 

 -t.s,„(x — x)y' + .%,(x — cc)y(x — u)y'-\-.. . 



