Koenigsberger: Irreductibilität algebraischer Differentialgleichungen. < 95 



für die man annehmen darf, dass s„(x — a) , s^x — a) , . . . s„{x — x), wenn 

 sie nicht identisch Null sind, nicht sämmtlich für x^c<, vei'schwinden, 

 indem man sonst, wenn {x — uY die höchste gemeinsame Potenz von 

 X — oc wäre, die Gleichung nur mit (x — cc)~"' zu multipliciren brauchte, 

 und die Differentialgleichung die Form annähme 



(21) P = p{x — ct)-i-p,(x — ci)y-hp,{x — a.){x — :i)i/' 



+p^{x — c(,){x — ot.yy"-i- . . . +Pn{x — a.){x — ccYy^"^ 



+|}„ _,„{.(' — ä) (.(• — o6)"""y' "''(.(■ — ayi/"^ 

 + = 0, 



in welcher p^{x — oC),pAx — a) , . . . p„{x — a) entweder identisch Null 

 sind oder TAYLOR'sche Reihen darstellen , die nicht sämmtlich für x =^ a, 

 verschwinden, und p{x — oC),p^„{x — ct),Po,(.r — a) , ... nach steigenden 

 ganzen Potenzen A^on x — cc fortschreitende Reihen sind, welche ganze 

 negative Potenzen von x — a. nur in endlicher Anzahl enthalten. Sei 

 ferner eine algebraische Differentialgleichung v*" Ordnung wiederum 

 in der Normalform und mit Coefficienten von demselljen Charakter 



(22) Q = q(x — a.) + q^{x — äL)y -+- q^x — a) {x — oi.)y' + . . . 



+ qXx — oi){x — a-Yy^''' + qoo{x — a)y'' + q„^{x — ot)y{x — ci)y' + . . . 



+ '^_,„0c — at) (.1- — a)'-'y— >(.(■ — a.yy^'i 



+ = 



vorgelegt, in welcher v < ii ist, so wird sich für eine beliebige Function y 

 der Differentialausdruck P durch den Difterentialausdruck Q und dessen 

 nach X genommene Ableitungen in der durch (15) gegebenen Form dar- 

 stellen lassen, und wenn man weiter annimmt, dass P = o und Q = o 

 ein gemeinsames Integral besitzen, welches nicht schon einer gleich- 

 artigen algebraischen Diflerentialgieichung von niederer Ordnung als der 

 V*™ genügt und nicht den Charakter einer algebraischen Function hat, 

 nach (il 



worin die Reihen p^(x — ac) , . . . o^^[x — a.) , . . . nur eine endliche Anzahl 

 negativer Potenzen von x — u enthalten; ersetzt man endlich auch hier 



?/W durch — ^. {x-uYy<'^ . und ^ durch ^, {x-ccY- ^ , 



(x — uY' ■^ dx^ (x — aY dx'- 



