Koknigsberger: Irreductibilität algebrnisclier DifFereutialgleichungen. ivi 



vorgelegt, in welcher Po(.r — «).j9,(.r — a), ...p„(x — a)TAYLOR'sche Reilien 

 darstellen, die nicht sämmtlich für x = ci verschwinden, wenn sie niclit 

 alle identisch Null sind, und p^oi-^^ — ^■■) , PoA^ — '^) > -•• nach steigenden 

 ganzen Potenzen von x — a fortschreitende Reihen sind, welche ganze 

 negative Potenzen von x — u nur in endlicher Anzahl enthalten, und 

 werde angenommen, diese Differentialgleichung sei reductibel, so hat 

 diese nach den früheren Auseinandersetzungen in der Umgebung von 

 ot entweder ein Integral von algebraischem Charakter oder es giebt eine 

 ebenfalls homogene algebraische Differentialgleichung v*" Ordnung (v<«) 



(25) Q = q^[x — ci)i/-i-q,(x—u)(x — ci)>/' 



-\-q,(x—oc) (x—oi.Yy"-+- . . .+q.Xx—c/.) {x—c(.)'iß 



+ gooi.i-'— ä)/ + 'Zoi U'—'-'-)}j{-^'—^)y'+ ■ ■ ■ 



+ q._,.Xx—u){X—u)-'i/'-'^(x—uYi/-'^ 



+ =0, 



worin q^ix — oC),...qXx — a) ebenfalls TAYLOß'sche Reihen sind, die 

 nicht den gemeinsamen Factor x — ot, haben, wenn sie nicht identisch 

 verschwinden und in den Reihen q„^{x — ä) , . . . negative Potenzen von 

 X — OL auch nur in endlicher Anzahl vorkommen, und welche mit P 

 in der für alle y,ij',... identischen Beziehung (23) steht. Setzt man 

 nun in diese Identität 



y = {x-cif, 



worin k eine ganze Zahl bedeutet, deren imtere Grenze noch weiter 

 bestimmt werden soll, so wird, wenn 



(26) (y«(o) + kq^(0) + k{k—l)q[Ho) + ... 



+ /,:(/;•— I ) ... (A-— y + I ) f/?>(0) = p ! • ^, 



gesetzt wird, Q die Form annehmen 



(27) Q^A^ {X - ctf + A, [x - 4' ^ ' + A.M -4'^" + --- 



+ 5„ {X - af -'^ + B, [X -ciY^-'^^' + ... 



+ a {x — cL)^'' ~ ^ + C, (.r — af - ^3+ ' + . . . 



4- , 



wenn — e, der höchste negative Exponent in den Gliedern zweiter Di- 

 mension von (25), — 63 der höchste negative Exponent in denen dritter 

 Dimension ist u. s. w. , und worin die B^, B, , . . . C^, C^ , . . . u. s. w. 

 ebenso wie die A^,A,,... ganze Functionen von fc darstellen.. 



Sei nun die höchste Dimension von Q in y und dessen Ablei- 

 tungen die ?«'% und wählt man k grösser als die grösste der Zahlen 



£3 — £2 , £4 — £3 , • • • S,„ — £,„_! , 



so wird für p ^ 3 , 4 , . . . /« 



pk — £, > 2/1 — £3, 



Sitzungsberichte 1899. 76 



