Koenigsberger: Irreductibilität algebraischer Diiferentialgleichuiigen. t 9i) 



Avorin ^oo('i" — f^) > <^io(^ — <^) • ■ ■ ■ negative Potenzen von x — a nur in 

 endlicher Anzahl enthalten. Ist nunmehr — yj^ der höchste negative 

 Exponent in den t/j- Functionen der Posten zweiter Dimension in y, Q 

 und deren Ableitungen auf der rechten Seite der Gleichung (23), — yj^ 

 der höchste negative Exponent in den (/) -Functionen der Posten dritter 

 Dimension u. s. w., so werden die Entwickelungen der Glieder zweiter, 

 dritter u. s. w. Dimension mit 



(^ — a)^^--^., (a--Ä)3^— ■'3,... 



beginnen , und wählt man wieder, wenn .s die höchste Dimension der 

 rechten Seite von (23) in 1/, Q und dessen Ableitungen bezeichnet, 

 k grösser als die grösste der Zahlen 



so wird für p = 3 , 4 , . . . 5 



pk — Yi^y- 2/1 — v\^ , 



und es werden somit für die unendlich vielen positiven ganzen Zahlen k, 

 welche nicht bloss über die früher bezeichnete, sondern auch über die 

 eben angegebene Grenze hinausliegen, die Zahlen 



2k — Yl^ , 3/.- — -/I3 , . . . Sk—Yi, 



eine wachsende Reihe bilden, und wenn weiter k so gross gewählt 

 wird , dass 



2 Ä- — *i, > /t + ^ oder k > v)^ + (^ , 



wiederum unendlich viele auf einander folgende, über eine bestimmte 

 Grenze hinaus liegende ganze Zahlen k existiren, für welche die Expo- 

 nenten von X — oc in allen mit den Coefficienten (poo(^ — ß') > 0io(*' — ci),... 

 versehenen Posten des Ausdruckes (28) für die rechte Seite der Gleichung 

 (23) sämmtlich grösser als k + § sind. 



Beachtet man aber weiter, dass nach (24) die obige Substitution 

 von y = {x — af, wenn 



(29) p^f (o) + kp[^^ (o) + k (k — I )p<^' (o) + . . . 



+ A:(A:— I) ... (Ä- — « + i)i?W(o) = p!-ö. 

 gesetzt wird, P in den Ausdruck überführt 



(30) P = a^(x — af + a^(x — ocf'^' + a^(x — oif'*'^- + . . . 



+ ^»Ja; — a)'^""^"^ + 6,{;r — «)'^"~^'^"^'+ . . . 

 + c,(x — ot)^'' ~ ^'3 + 0, [x — ccf'' ~ ^"3 +' + ... , 



Avorin — ^^ der höchste negative Exponent in den Gliedern zweiter 

 Dimension von (24), — ^3 der höchste negative Exponent in denen 

 dritter Dimension u. s. w., so wird man wiederum k so gross wählen 



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