800 Gesanuntsitzung vom 26. October. 



können, dass für alle über eine bestimmte Grenze hinaus liegenden 

 ganzzahligen Werthe A'on h nicht nur alle früheren Bedingungen erfüllt 

 werden, sondern auch in dem Ausdrucke (30) für P die Exponenten 

 A^on X — a. in der zweiten, dritten, . . . Horizontalreihe sämmtlich grösser 

 als k-\-^ sind , worin ^ eine bestimmt vorgelegte ganze Zahl war, also 

 P die Form hat 



(31) p = a^[x — cf + ff, (X — a.)'-'-^' + .. . 



dQ 



Nun kann die linke Seite der Gleichung (23), in welcher -?r— y;, 



eine ganze Function von >/ und dessen Ableitungen ist, deren Coefft- 

 cienten Potenzreihen von x — u mit einer nur endlichen Anzahl nega- 

 tiver Potenzen darstellen, in die Form gesetzt werden 



(x — ocYP j Aq (.r — a) + /ii, (.T — <»)»/ + K {^ — i^) (^ — ^) i/ ' 



-\-/i^{x — ci)(x — ot.)-i/"+ . . . + /i^Jx — *)//' + //,„(.r — ci)i/{x — oc)i/'-h. . . 

 + I, 



worin die Reihen /i,,{x — x) , h,{x — x) , . . . h^{x — x) , . . . auch nur eine 

 endliche Anzahl ganzer negativer Potenzen enthalten oder auch durch 

 Substitution von ^ = (.r — xf' nach (31) in 



(32) {x — xf\(i„{x — xf+a,(x — xf"^' + .. . + (i;(x — xf-^^ 



+ aAx — xf^'-^' + . . .\\<j,[x — X) + y,{x — x)[x — xf 

 + kg^ {x — x) [x — xf + k (k — i ) r/, (x — x) {x — xf-\-... 

 + 9oo{x — ^){x — «)'*'+ %,o(-<'' — ^)(^ — xf-i- . . . 



wovon e eine ganze positive oder negative Zahl bedeutet, und 



g^{x — x}i,(j,{x — x), ...(j^^{x — x), ... 



nach ganzen steigenden positiven Potenzen von x — x fortschreitende 

 Reihen sind; und aus der Identität der Ausdrücke (28) und (32) für 

 alle über eine bestimmte Grenze hinaus liegenden ganzzahligen Werthe 

 von k sollen nun die weiteren Schlüsse in Betreff der Möglichkeit der 

 Reductibilität homogener algebraischer Differentialgleichungen gezogen 

 werden. 



Nehmen wir nun zunächst an, dass die Differentialgleichung Q = o 

 die höchste Ableitung ?/'"' in einem Gliede erster Dimension enthält, 



dass also q„(x — x) nicht identisch Nidl ist, so wird -^-r. eben diese 



Function enthalten, und somit, wenn P der Bedingung unterworfen 

 Avird, ein oder mehrere Glieder erster Dimension in y , y', . . . i/"^ zu 



