Koenigsbeeger: Iri-eductihilität algebraischer Diflereiitialgleichungen. 801 



haben, die linke Seite der Gleichung (23) ein oder mehrere Glieder 

 erster Dimension in y und dessen Ableitungen enthalten. Nun schliessen 

 aber die für P und Q gemachten Annahmen einerseits das identische 

 Verschwinden aller Functionen 



(a) fj^x — a),j9,(x — cC],...pn[x — (z), bez. q^{x — c/J),q^{x — a)....q\x — ci) 



aus, andererseits dürfen aber auch nicht alle Functionen 



(6) (/)„{;l- — d) , (/),(a- — a) .... <p„_„(x — c£) 



in der Gleichung (23) identisch Null sein, weil die Glieder von der 

 zweiten Horizontalreihe der rechten Seite an sämmtlich Glieder von 

 mindestens der zweiten Dimension liefern würden, während die linke 

 Seite Glieder erster Dimension besitzt, und es wird somit für die 

 eben bezeichneten Grössenreihen (a) und (6) nur die oben gefundene 

 Eigenschaft bestehen, dass die Elemente einer jeden solchen Reihe 

 nicht sämmtlich für x ■=■ et verschwinden, ohne dass sie alle identisch 

 Null sein dürfen. Wir könnten nun durch Gleichsetzen der in y und . 

 dessen Ableitungen linearen Ausdrücke der beiden Seiten der Glei- 

 chung (23) die Irreductibilitätsuntersuchung auf die von linearen homo- 

 genen Differentialgleichungen zurückführen , wollen aber der weiteren 

 analogen Untersuchungen wegen die Schlüsse an der Form der Glei- 

 chung (23) selbst durchführen. 



Die niedrigste Potenz von ;r — a, in dem Au.sdrucke (28) ist die 

 U\ und es lautet der Goefficient von (.r — oi)* vermöge der Gleichung (26) 



(33) [^o{o)+k-<^\{o) +k\k — i)<p,[o) + ...+k{k — \)... {k — n + v + i)(p,_^[o)] 

 x[q,{o)-hkq,{o) + k{k — i)qJo) + ...+k(k — i)...{k — v + i)q,,{o)l 



worin, wie oben gezeigt worden, sowohl (poio) , 4>x(o) , . . . (pn_,(o) als 

 auch ^0(0) , 5',(o), . . . q,{o) nicht sämmtlich verschwinden; daraus folgt, 

 dass, weil dieser Coefficient nur für bestimmte k verschwinden könnte, 

 das Glied mit (x — ocf, worin k jede über eine bestimmte Grenze hin- 

 aus liegende ganze Zahl bedeutet, auf der rechten Seite (28) der durch 

 Substitution von y = {x — af transformirten Gleichung (23) auch wirk- 

 lich vorkommt; es muss somit auch auf der linken Seite derselben, und 

 somit in dem Ausdrucke (32), enthalten sein. Da nun, wie oben fest- 

 gestellt worden, angenommen werden durfte, dass j^(o),^j(o), . . .^„(o) 

 nicht sämmtlich Null sind, so wird 



f'o = Po{o) 4- kp,{o) -J- k{k— i)p,{o) + . . . + k(k— 1) . . . {k — n-\-i)p^(o) 



nicht für jedes k verschwinden und somit zunächst e keine positive 

 ganze Zahl sein, weil sonst die linke Seite von (23) mit einer höheren 

 Potenz als der ä:"" beginnen würde. Ist aber e eine negative ganze 

 Zahl, so wird, da die Entwickelung von (32) mit (.r — uf beginnen 



