802 Gesainmtsitzung vom "2(3. October. 



muss, die Entwickelung der zweiten Klammer in (32) mit {x — et)""" 

 anfangen müssen , und weil e unabhängig von k ist und k , das schon 

 über eine bestimmte Grenze hinaus liegen musste, ausserdem noch grösser 

 als — e + ^ angenommen werden darf, worin ^ die oben beliebig, aber 

 fest angenommene ganze Zahl bedeutet, so wird a-k + e>S, wenn 

 cr=i,2,3,..., und es werden somit alle Posten der zweiten Klammer 

 in (32) — von g„(x — a) abgesehen — mit {x — at,)" multiplicirt posi- 

 tive Potenzen von x — cc liefern, deren Exponent grösser als ^ ist. 

 Der Coefficient von (x — uf in dem Ausdrucke (32) nimmt daher den 

 Werth an 



oder nach (29) 



(34) c,[p,{o) + kpAo) + k{k — i)p,(o)-]-...+k(k—i)...(k — n + i)pAo)], 



worin c„ eine von k unabhängige nicht verschwindende Constante be- 

 deutet, und es müsste somit nach (33) und (34), welche die Coefii- 

 cienten von {x — oi)* auf beiden Seiten der Gleichung {23) nach Sub- 

 stitution vony = (a; — ä)* bedeuten, die für alle positiven ganzzahligen k, 

 welche über eine bestimmte Grenze hinaus liegen, identische Gleichung 

 bestehen 



(35) (^oiPoio) + kjj.io) + k(k — i)pAo) + ... + k(k — i)... {k—n-hi)pAo)] 

 = [cp,(o) + k(p,{o) + k(k — i)(p,{o) + ... + k(k — i)...{k—n + v + i)(p„_,{o)] 



[q,{o) + %(o) + k(k — i)q,(o) + . . . + k(k — i) . . . (k — v + 1) q^o)]. 



Da nun nach den gemachten Voraussetzungen die oben mit (a) und 

 {h) bezeichneten Grössenreihen nicht identisch verschwinden können , so 

 durfte die Annahme gemacht werden , dass auch keine der Grössenreihen 



Po{o) , pAo) ,...pAo); ?o(o) , qAo) .... ?„(o) ; (/)„(o) , (/>,(o) , . . . (p,_Xo) 



nur verschwindende Elemente besitze, und setzt man nunmehr 



i'.(o) = ^3(0) = . . . = p„(o) = o, 

 also 



(36) a,=p„{o) 



von k unabhängig und von Null verschieden, oder nimmt an, dass, 

 wenn 



(37) Po(^ — ^) = %{x — ci),p,{x — ^) = (x — cc)%{x — ci), 



. . . p„{x — et) = {x — st)^„{a; — oi.) 



gesetzt wird, ^o(o) von Null verschieden ist, so ergiebt sich aus (35) 



(38) (p,{o) = cpAo) = ... = <p„-.io) = o . 



q^{o) = q^{o) =:...= qXo) = o , also A^ = q^(d) 



