Koenigsberger: Irreductibilität algebraischer DitYereiitialgleichungen. 803 



und 



(39) <po{o)qo(o) = c^ijAo). 



Vergleicht man nunmehr die Coefficienten von {x — ä)*"^' in den 

 beiden identisch gleichen Ausdrücken (28) und (32), so folgt, weil 

 der Bestimmung der unteren Grenze von k gemäss die Posten der 

 zweiten Klammer von (32), von dem ersten abgesehen, mit (.t — et)* mul- 

 tiplicirt Potenzen von x — cc lieferten, deren Exponenten grösser als ^ 

 sind, worin ^>i eine beliebig, aber fest gewählte ganze Zahl war, 

 nach (26) und (29) 



(40) g„(o) [(p',{o) + Vi(o) + . . . + k(k—i). . .{k—n + v + i) (p'„_,{o)] 



+ <^„(o) [g^(o) + kq'Xo) + . . . + Ä- (/,• — I ) . . . (/.• — i' + I ) ^„'(o)] 

 = c,p^(o) + c„ [>„'(o) + kp'Ao) + k{k — I )p!,{o) + . . . 

 + Jc{k—i)...{k — n+i)pXo)], 



(-f+i)! 



eine ebenfalls von k unabhängige Constante ist. 



Nimmt man nun an , dass pi,(o) , also auch ^t„(o) von Null ver- 

 schieden ist, so wird, weil auch c„ eine nicht verschwindende Con- 

 stante war, die rechte Seite der Gleichung (40), welche für alle über 

 eine bestimmte Grenze hinaus liegenden Werthe von k identisch sein 

 muss, k zur ?i'™ Potenz erhoben enthalten, während die linke Seite 

 in Bezug auf k nur vom v'™ oder ti — v"" Grade ist, je nachdem v^n — v 

 ist. Daraus folgt aber, dass die Gleichung (40) nicht identisch er- 

 füllt sein kann, dass somit auch die für die Reductibilität der Diffe- 

 rentialgleichung P=o auf die Differentialgleichung Q=o noth wendige 

 Identität nicht besteht, und wir erhalten das folgende Theorem: 



Eine homogene algebraische Differentialgleichung, wel- 

 che in Bezug auf den höchsten Differentialquotienten als 

 irreductibel vorausgesetzt wird und welche die Form hat 



(41) ^^{x — a,)y -\- (x — c<.Y%\{x — ci)y'-i- {x — ocY^X^,(x — oi,)i/"+ ... 



+ {x — ciY%\„_,{x — oc)y^"-'^ + {x — ciY-*-'%(x — o^)i/''^ + %^^^(x — ot.)f 

 + ^„, (x—ci);/ !/'■+■ . . . + «p„_^„(.i-— cc) /'-"/'> + ... = o, 



worin ^„(x — i/),^,(a; — oc) , . . . '^^{x — a) nach positiven ganzen 

 Potenzen von x — a fortschreitende Reihen und ^„(o) sowie 

 ^„(o) von Null verschieden sind, ^oo(^ — ^) , VoA^ — ^) ^ • • • Reihen 

 mit ganzen Potenzen von x — cc darstellen, die nur eine end- 

 liche Anzahl negativer Potenzen enthalten, ist nicht auf 

 eine gleichartige algebraische Differentialgleichung nie- 



