804 Gesammtsitzung vom 26. October. 



tierer Ordnung reductibel, in welclier der höchste Diffe- 

 rentialquotient in einem Gliede erster Dimension vorkommt, 

 wie es in der Gleichung (41) der Fall ist, da ^^{a; — u) und ^„(.r — a) 

 nicht identisch Null sein durften. 



Ebenso ist leicht zu sehen, dass, wenn 



p^(o) =^3(0) = ... =z pjo) = o, also ^o(o) 4= o, 

 ferner jj,',-i(o) 4= o und p'„(o) = o 

 oder für 



p„(x — a) = %^^(a: — a) ,pAx — a) = (.r — ci)^Pj(.r — a) .... 



p„-A^ — ^) =^ (.1' — a)^p„_3(a- — a),p„_^{x — a.) = (.(■ — a)^„_,(.r — a) , 



pjx — a) = (.v — ciy%\,(.v — oc) 



die Werthe ^'o(o) und ^*„_,{o) von Null verschieden sind, weil die 

 rechte Seite der identisch zu befriedigenden Gleichung (40) in Bezug 

 auf k vom n — i'"" Grade ist, die homogene algebraische Diffe- 

 rentialgleichung 



f>„{x — a,)y + (x — oe.Y'^, {x — oi.)i/ + (x — a,)' %^, {x — cc)y" + ... 



+ {x— ci)" <p„_, {x — a) y"-') + (.(• — a)"+' «P„ (.r -- u) y) 



in welcher ^^„(o) und '*p„_i(o) von Null verschieden sind, nur 

 auf eine gleichartige algebraische Differentialgleichung 

 erster oder n — i'" Ordnung, in welcher der höchste Diffe- 

 rentialquotient in einem Gliede erster Dimension vorkommt, 

 reductibel ist. 

 Ist jedoch 



^i(o) =j3.(o) = . . . =p,Ao) = 0, p[{o) =p'Ao) = ... =i-?,;(o) = 0, 



so folgt aus (40), dass die linke Seite dieser Gleichung von /.: unab- 

 hängig sein muss und somit entweder 7i — v :^ v , also « eine gerade 

 Zahl, oder mindestens </)^_,(o) bez. q.^{o) verschwinden müssen, je nach- 

 dem n — V ?-^ V ist. Nun liefert aber die Identificirung der Coefficienten 

 von {x — a.f''*'^ in den beiden Ausdrücken (28) und (32), wenn ^> 2 

 angenommen wurde, die Beziehung 



(42) i 0o(O)[<7o"(O) + kq"(o) + ...-hk(k—i)...{k — v+i) q'Jio)] 



+ [cp',{o) + (k+ I) ^; (o) + (/.•+ i)kcp'Ao) + ...+(k+i)k ...{k — n + v+i) (p'„_.,{o) 



[^„'(o) + kq:(o) + ... + k(k— I ) . . . (A- — V + I ) ^;(o)] 

 + i-qo ioWö (o) + /.•</'" (0) + . . . + k(k— 1) . . . {k — n + V + 1) cp'^_ „ (o)] 

 = T^o[K (o) + kpUo) + ...+ k(k—i) . . . [k—n 4- i)K(o)] + c.p'jo) + c,_p„(o) 



worin c^ . <?, , c^ von k vmabhängige Constanten sind ; ist nun n eine 

 ungerade Zahl, also (p'„_,{o) oder q!,(o) gleich Null, so wird die linke 



