Koenigsbf.rger: Irreductibilität alseliraiseher DifFerentialgleichuiigen. iS05 



Seite von (42) in Bezug auf k höchstens den n — i''"Grad erreichen, 

 während die rechte Seite, wenn angenommen wird, dass p'n {o) von 

 Null verschieden ist, in Bezug auf k vom n*™ Grade ist, also die 

 Identität unmöglich , und bemerkt man endlich, dass für die Annahme 



n 

 n — v = V . also für ein gerades n sich v := — ergiebt, so folgt, dass 



2 



die homogene algebraische Differentialgleichung 



%\,(x — oc)ij + {x — s4)3^:p,(.f — u)>/+ (.V — ccYX^Ui- — x)i/"-h . . . 



+ ix — cif^' <p„_,U' — 54)/'-) + {x — u)"+'%\„(x — ci)i/"^ + %\,Jx — x)f 

 + ^,,{x — x)yy'^ . . . + %\^,n{x — ct)t/"-'h/''^ + . . . = o , 



in welcher 'ipo(o) und '!p„(o) von Null verschieden sind, wenn 

 die Ordnungszahl u ungerade, nicht auf eine gleichartige 

 algebraische Differentialgleichung niederer Ordnung re- 

 ductibel ist, in welcher der höchste Differentialquotient 

 in einem Gliede erster Dimension vorkommt, dass sie jedoch 

 für den Fall einer geraden Ordnung nur auf eine so be- 



scliaffene Differentialgleichung — Ordnung reductibel sein 



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kann. 



Die Reihe der weiteren Sätze ist analog den in meiner oben er- 

 wähnten Arbeit über die Irreductibilität linearer homogener Diffe- 

 rentialgleichungen ausgesprochenen . 



Behalten wir die Annahme bei, dass P ein oder mehrere Glieder 

 erster Dimension in y , y' , . . .ij"^ besitze, und unterwerfen Q eben 

 dieser Bedingung, ohne wie vorher vorauszusetzen, dass die höchste 

 Ableitung ?/*"' in einem Gliede erster Dimension vorkomme, so werden 

 zunächst weder 



p„ (x — a.),p^{x — et),... j3„ [x — a) , noch q^ {x — a) ,q^{x — a),... (/,, (x — a) 



sämmtlich Null sein können: da aber die linke Seite von (23) aus 

 Gliedern besteht, die mindestens von der zweiten Dimension sind, 

 ausserdem, wenn y*^' die höchste AT)leitung von y ist, welche in Q 

 in einem Gliede ei-ster Dimension vorkommt, nach (25) 



dQ cpq d"-'Q 

 dx ' dx'' ' ' dx"~" 



als höchste Ableitungen von y, welche in Gliedern erster Dimension 

 enthalten sind, j/''"^'', ?/<'"''"'.... y'"^"""' liefern, so müssen 



(pa(x — oc) , c/)j(.c — ci) , . . . (/)„_„(a' — et) 



identisch Null sein. Multiplicirt man nunmehr die Gleichung (23) wieder 

 mit einer solchen ganzen positiven oder negativen Potenz von [x — a), 



