Si im'] 1 10 : Tlu'tafuiilUionen vom Geschlechte 1 



Thetafunktionen vom Geschlechte 4. 



Von F. Schottky. 



(Vorgetragen am 11. Dezember 1919 [s. Jahrg. L919 S. 975]. 



Denkt man sich für irgendeine algebraische Gleichung G (x , y) = o 

 vom Geschlechte p das zugehörige System der geraden und ungeraden 

 Thetafunktionen aufgestellt, so ist jeder der j> Veränderlichen, von denen 

 die Theta abhängen, ein Integral erster Gattung zugeordnet. Bei der 

 Entwicklung der Theorie, die sich oft analytisch-geometrisch gestaltet, 

 tritt das Problem auf, zu untersuchen, was aus den einzelnen Tlieta 

 wird, wenn man für jede Variable entweder das ihr entsprechende 

 Integral mit gegebenen Grenzen oder eine Summe solcher Integrale 

 mit verschiedenen Grenzpunkten einsetzt. Die Theta selbst stehen in 

 transzendenter Abhängigkeit von den Grenzpunkten. Aber transzen- 

 dent ist nur ein ihnen allen gemeinsamer Faktor. Wenn man von 

 diesem absieht, bleuten nur algebraische Funktionen übrig. 



In einer früheren Mitteilung 1 wurden von mir drei besondere An- 

 nahmen gemacht, die, mit der Beschränkung auf den Fallp= 3 , schon 

 in Webers »Theorie der ABEtschen Funktionen vom Geschlechte 3« er- 

 örtert werden". Die erste Annahme ist die einfachste: Jede der p Ver- 

 änderliehen wird gleich dem ihr entsprechenden Integral gesetzt, ge- 

 nommen zwischen zwei willkürlich veränderliehen Grenzen (.1 •',//') oder /'' 



und (x . //) oder P: 



p 



11 = | v{x,y)äx — u(x ,y) — u(x',y') . 



v 



In diesem Falle ergibt sieh für die ungeraden Theta ein besonders 



einfaches Resultat. 



Fs sei 9-„ irgendeine der ungeraden Thetafunktionen und u a ihr 



lineares Anfangsglied in der Entwicklung nach homogenen Funktionen 



der g Veränderlichen. Das, was aus //.entsteht, indem man die einzelnen 



11 Geometrisch' • Eigenschaften der Thetafunktionen v hei Veränderlichen, 



S.-B. 190(1. S. 752 — 767. 



- Berlin, Verlag von ('<. Reimer, 1876. 



