S.iin M m: Tlietafunktionen vom Geschlechte l 28 



Die Größen 1 'v a nennt Weber Wurzelfunktionen erster Ordnung. Die 

 Produkte zweier oder dreier: I r .r : und I r r.r , sind Wurzelfunktionen 

 zweiter und dritter Ordnung. 



Mit der Wurzelfunktion I '',''. sind zugleich zwei Tlietafunktionen 

 bestimmt, 9- a und §&, und damit eine halbe Periode ■/.. durch die Zr t , 

 und S-- ineinander übergeführt werden. Mit I v a v . r sind drei Theta: 

 S-, ( , S-. ; , S\, gegeben — und mit ihnen ein viertes, 3- K , das aus S\, durch 

 dieselbe halbe Periode entspringt, wie c-, aus C- , . Man rechnet yv a Vg 

 in die durch die halbe Periode (x) bestimmte Gruppe, wenn 9- a aus 

 C-. durch die halbe Periode (■/.) hervorgeht, u.nCLYV a v^v y zur Gruppe 

 der Funktion S-„, wenn 3-,, die vierte Funktion ist, die C-, . Z-;, Z- y in 

 der angegebenen Weise ergänzt. Die Quotienten aller Wurzelfunktionen 

 einer und derselben Gruppe sind rational in X, y, und die Zahl der 

 linear unabhängigen Wurzelgrößen zweiter Ordnung, die zu einer und 

 derselben halben Periode gehören, ist p — i. Bei den Wurzelgrößen 

 dritter Ordnung, die zu einem bestimmten 3- gehören, beträgt die Zahl 

 der linear unabhängigen 2 /> — 2. 



Ist du = ril.v das Differential eines Integrals erster Gattung, so 

 verschwindet du im allgemeinen in 2 p — 2 Punkten. Ist aber insbe- 

 sondere 11 das zu einer ungeraden Thetafunktion S- o gehörige Integral //,,, 

 so fallen die Nullpunkte paarweise zusammen; du = v dx verschwin- 

 det in /> — 1 Punkten von der zweiten, I du a von der ersten Ordnung. 



Wir gehen zur zweiten Annahme über. Wir wählen irgendein 

 ungerades 3- o5 mit der zugehörigen Wurzelgröße Vv , und setzen' jede 

 der p Veränderlichen gleich einer Summe von p — 1 ihr entsprechenden 

 Integralen, deren obere Grenzen willkürlich veränderliche Punkte sind: 

 P, Q, R usf., während die unteren mit den p — 1 Nullpunkten von 

 V v dx zusammenfallen. 



Das Resultat dieser Substitution ist folgendes: C-, wird identisch o. 

 Für alle andern Theta, die geraden wie die ungeraden, gilt die Formel 



*. = EVt, 



wo E gemeinsamer Faktor ist, wo ferner a die halbe Periode bedeutet. 

 die $- u in S„ überführt, und wo endlich I S a die Determinante ist. ge- 

 bildet aus den Werten, die die zu a gehörigen linear unabhängigen 

 p—\ Wurzelfunktionen in den p — 1 oberen Grenzpunkten der Integrale 

 erhalten. 



Damit sind die Verhältnisse der Theta algebraisch festgelegt — 

 abgesehen von konstanten Faktoren, deren Bestimmung eine besondere 

 Aufgabe sein würde. 



