202 Gesamtsitzung vom 29. Januar 1920. — Mitteilung vom 8. Januar 



( Über eine Verallgemeinerung der PiCARDschen Sätze. 



Von C. Caratheodory. 



(Vorgelegt am 8. Januar 1920 [s. oben S. 1].) 



1. Der Satz von Picard, daß eine analytische Funktion in jeder Um- 

 gebung einer ihrer wesentlich singulären Stellen höchstens zwei Werte 

 auslassen kann, wird in jedem modernen Lehrbuche der Funktionen- 

 theorie abgeleitet. Viel weniger bekannt ist das andere Resultat des- 

 selben Autors, nach welchem zwei eindeutige Funktionen f{z) und g{z), 

 zwischen welchen eine algebraische Relation von Geschlecht p > i be- 

 steht, keine isolierten wesentlich singulären Stellen besitzen können 1 . 



Picard selbst hat mehr den Unterschied, der zwischen beiden Sätzen 

 besteht, als ihren Zusammenhang betont". In den folgenden Seiten will 

 ich dagegen zeigen, daß die beiden erwähnten PiCARnschen Sätze als die 

 natürlichen Korollare eines allgemeineren — allerdings viel komplizierte- 

 ren — Satzes angesehen werden können, den ich aber besonders des- 

 halb hier wiedergeben möchte, weil sein* Beweis — unter Vermeidung- 

 aller zufälligen Kunstgriffe, die oft die Kette der Schlüsse verschleiern — 

 rein geometrisch geführt werden kann und daher sehr durchsichtig 

 ist. Dieser Beweis hat übrigens in seinem Grundgedanken eine große 

 Ähnlichkeit mit einem anderen, den ich vor einiger Zeit veröffentlicht 

 habe, ohne die weiteren Konsequenzen, die sich aus ihm ergeben, zu 

 verfolgen 3 . 



2. Das Problem, um welches es sich handelt, ist folgendes: Es sei 

 cp(u) eine mehrdeutige analytische Funktion von u und SR ihre auf der 

 w-Ebene ausgebreitete RiEMANNsche Fläche — oder auch nur ein Stück 

 derselben. Ferner sei w =/(~) eine im Gebiete G der 2-Ebene eindeutige 

 analytische Funktion, die innerhalb G ev. auch Pole besitzen kann; 

 von dieser Funktion verlangen wir, daß das RiEMANNsche Flächenstück 



1 Demonstration d'un theoreme general sur les fonctions uniformes liees par une 

 relation algebrique. Act. Math. Bd. n (1887) p. 1. 



2 Sur les couples de fonctions uniformes d'une variable correspondant aux points 

 d'une courbe algebrique de genre superieur a l'unite. Circ. Math, di Palermo Bd. 33 

 (1912) p. 254. 



3 Sur le theoreme general de Mr. Picard C. R. Bd. 154 (1912, i er sem.) p. 1690. 



