Carathkodory : Über eine Verallgemeinerung der l'i> iRDsehen Sätze _0o 



© der ««-Ebene, auf welches sie das Gebiet G abbildet, unverzweigi auf 

 unser RiemannscIics Flächenstück 9i ausgebreitet werden kann 1 . 



Im Fade, daß 5K die unbegrenzte KiemannscIic Fläche von <j>(ii) 

 bezeichnet, ist die letzte Bedingung gleichbedeutend damit, daß ein 

 geeignetes Funktionselement von g(z) = f(f(zj) und seine analytischen 

 Fortsetzungen innerhalb G höchstens Pole, aber keine Verzweigungs- 

 punkte oder andere Singularitäten, wie z. B. natürliche Grenzen, be- 

 sitzen. Es ist dann leicht einzusehen, daß die im vorigen Paragraphen 

 erwähnten PicARDSchen Sätze besagen, daß, wenn 5ft die RiemannscIic 

 Fläche der elliptischen Modulfunktion oder eine geschlossene alge- 

 braische RiEMANNSche Fläche von Geschlecht p > i bedeutet, die Be- 

 grenzung des Gebietes G keine isolierten Punkte enthalten kann, in 

 denen f(z) eine wesentliche Singularität besitzt. 



In unserer Arbeit wollen wir eine Bedingung für das RiEMANN- 

 Sche Flächenstück JU angeben, die in den beiden erwähnten Fällen er- 

 füllt ist, und aus der man dieselbe Eigenschaft von f(z) ableiten kann. 



3. Wir bezeichnen mit !!R die einfach zusammenhängende Über- 

 lagerungsfläche von 9t. Nach dem bekannten Grenzkreistheorem von 

 Poincare und Kolbe kann man nun die einfach zusammenhängende 

 RiEMANNSche Fläche 9i entweder auf die Vollkugel oder auf die punk- 

 tierte Kugel oder auf das Innere eines Kreises konform abbilden, und 

 man erhält die Funktion v = <p(u) durch Elimination von t zwischen 

 den zwei eindeutigen Funktionen u = u(t) und v = ß(t). 



Im Falle nun, daß 9t entweder auf der Vollkugel oder auf der 

 punktierten Kugel abbildbar ist, ist die Funktion cc(t) eine ganze Funk- 

 tion, und es genügt, je nachdem sie rational oder transzendent ist, 



f(z) = x(^ oder /(*) = * 



zu setzen, um eine Funktion f(z) zu erhalten, die unseren Voraus- 

 setzungen entspricht, und die die isolierte wesentlich singulare Stelle 

 - = o besitzt. 



Es ist also notwendig, um schließen zu können, daß 

 das Gebiet G keine isolierten Grenzpunkte besitzt, in denen 

 f(z) wesentlich Singular ist, daß die Überlagerungsfläehe 5H 

 auf das Innere eines Kreises abbildbar sei. 



1 Hiermit verstehe ich, daß man © stetig auf 9! abbilden kann, so daß zwei 

 entsprechende Punkte in der «-Ebene übereinander gelagert sind, einem einlachen 

 Punkte von S stets ein einfacher Punkt von 9\ zugeordnet ist, und einem Verzweigungs- 

 punkte n<" Ordnung von © entweder ein einfacher Punkt von 3} oder ein Verzweigungs- 

 punkt, dessen Ordnung entweder n oder ein Teiler von n ist. 



