'2()4 Gesamtsitzung vom '29. Januar 192Ü. — Mitteilung vom 8. Januar 



Dies ist auch der Grund, weshalb man das Geschlecht p der al- 

 gebraischen Relation im erwähnten Satze von Ricard mindestens gleich 

 zwei setzen muß. 



Bemerkung. Die soeben abgeleitete Bedingung für die Riemann- 

 sche Überlagerungstläche SR ist nicht hinreichend, um die Existenz von 

 wesentlichen singulären Stellen bei f(z) auszuschließen. 



Es sei z. B. w(:) eine Funktion, welche die konforme Abbildung 

 des hinern einer nirgends analytischen JoRDANSchen Kurve auf das Innere 

 des Kreises |~|< i vermittelt. Die Funktion v = (p(u) werde definiert 

 durch Elimination von z zwischen den beiden Funktionen 



■ii = f{z) = e* und v = w(z) . 



Hier hat die Funktion/^) die wesentliche singulare Stelle z = o, 

 und die Überlagerungsfläche SR ist auf das Innere eines Kreises ab- 

 bildbar; sie wird z. B. auf die Halbebene FRf<o konform abgebildet, 

 wenn man in den Gleichungen (i) die Substitution z = e* ausführt. 



4. Ausgehend von der Tatsache, daß die Gruppe der konformen 

 Abbildungen einer Kreisscheibe auf sich selbst der Gruppe der Be- 

 wegungen in der LoBATSCHEWSKYSchen Ebene isomorph ist, und daß 

 man daher auf der Kreisscheibe eine CAYLEYSche Maßbestimmung be- 

 trachten kann, die bei konformen Abbildungen des Kreises invariant 

 bleibt, hat Hr. G. Pick aus dem ScHWARZschen Lemma ein sehr inter- 

 essantes Resultat abgeleitet 1 , das man folgendermaßen aussprechen kann : 



Satz i. Ist für |z|<i die Funktion w =f{z) regulär und 

 |/(^)|<i, sind außerdem C, und C w zwei beliebige rektifi- 

 zierbare Kurven auf dieser Kreisscheibe, die durch die Funk- 

 tion w =f(z) aufeinander abgebildet werden, so ist die Cay- 

 LEYSche Länge der Kurve C w nie größer als die ÜAYLEYsebe 

 Länge von G z . Die beiden Kurven haben außerdem dann 

 und nur dann die gleiche CAYLEvsche Länge, wenn die Funk- 

 tion w =f(z) den Einheitskreis in sich selbst transformiert. 



Hr. Lindejlöff hat das ScHWARZsche Lemma in einen allgemeinen 

 Satz eingekleidet' 2 , der sehr durchsichtig ist und sich sicher mehr 

 eingebürgert hätte, wenn nicht seine Formulierung sehr umständlich 

 wäre. Eine ähnliche Übertragung des PicKSchen Resultats auf allge- 

 meine RiEMANNSche Flächen scheint ebenfalls ein für viele Zwecke 

 außerordentlich bequemes und biegsames Instrument zu liefern, vor 



1 T)ber eine Eigenschaft der konformen Abbildung kreisförmiger Bereiche, Math. 

 Ann. Bd. 77 (1916), p. 1. 



2 Memoire sur certaines inegalites dans la theorie des fonctions monogenes. 

 Acta Soc. Scient. Fennicae, T. 35 Nr. 7 (1908), p. 1. 



