Caratheodory: über eine Verallgemeinerung der l'i< iRDSchen Sätze li'lö 



allein, weil man sich jetzt von der Bedingung des einfachen Zusammen- 

 hangs bei den betrachteten RiEMANNSchen Flächen befreien kann. 



Ist nämlich 9t eine beliebige begrenzte oder unbegrenzte Kie- 

 MANNSche Fläche, deren einfach zusammenhängende Überlagerungs- 

 fläche SR konform auf den Einheitskreis G abgebildet werden kann, so 

 wird jede Kurve C von 9t einer oder auch mehreren (i.A. unendlich 

 vielen) Kurven y, , 7, . • • • von tl" vermöge dieser Abbildung zugeordnet. 

 Da alier die Kurven 7, , 7, , ■ • • durch konforme Abbildungen des Ein- 

 heitskreises auf sich seihst ineinander überzuführen sind, haben sie 

 alle die gleiche CAYLEYSche hänge, und es ist daher möglich, diese 

 Länge der Kurve C selbst zuzuordnen. Auf jeder RiEMANNSchen Fläche, 

 deren 1 berlagerungsfläche auf" einen Kreis konform abbildbar ist. gibt 

 es also eine wohlbestimmte ( avi.f.vscIic Maßbestimmung, und da es 

 in der LoBATSCHEWSKVschen Geometrie eine natürliche Längeneinheit 

 gibt, können wir sogar die CAYLEYSchen Längen von zwei Kurven auf 

 zwei verschiedene derartige RiEMANNSche Flächen miteinander ver- 

 gleichen 1 . 



Nach diesen Vorbemerkungen sind wir in der Lage, den Pick- 

 schen Satz, folgendermaßen auszusprechen: 



Satz 2. Es seien SR. und 9?„ Riem an Nsche Flächen, deren 

 Überlagerungsflächen 9t. und 9t„, auf einen Kreis konform 

 abbildbar sind. Ferner sei die analytische Funktion w = /(:) 

 auf der RiEMANNSchen Fläche 9\_. definiert, und es sei stets 

 w = /(«:) unverzweigt auf der RiEMANNSchen Fläche 9l„ ., wenn 

 z die Fläche JH. durchläuft und man einen bestimmten An- 

 fangspunkt w =f(z ) einem geeigneten Blatte von 9t„, zuordnet. 

 Sind dann C z und C„. zwei in der Abbildung w=f(z) ent- 

 sprechende, rektifizierbare Kurvenstücke, von denen das 

 erste auf 9i. liegt, so ist die auf 91. gemessene CaYleyscIic 

 Länge von C z stets größer als die auf 9t„ gemessene Länge 

 von C w , außer wenn die gegebene Funktion die Überlage- 

 rungsflächen 91; und 9t„. konform aufeinander abbildet, in 

 welchem Falle die beiden Kurven dieselbe Länge besitzen. 



Die vorausgesetzeUnverzweigtheit von/(c) auf fR a ist nämlich gleich- 

 bedeutend damit, daß, wenn z = <p (Q und w = \|/ (cu) Funktionen bedeu- 

 ten, durch welche die Flächen 9t. und 9t,„ auf den Einheitskreis ab- 

 gebildet werden, durch Elimination von z und w zwischen 



z'==<p(Q, w = /{z) und w = 4 (<*>) , 



1 Dagegen kann man nur dann von der CxiXETSchen Entfernung von zwei 

 Punkten auf 3t sprechen, wenn SU einlach zusammenhängend ist. d. h. wenn fSi mil 

 IR zusammenfällt. 



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