"JIM) Gesamtsitzung vom 2'.l Januar 1920. — Mitteilung vom 8. Januar 



eine für |£j< i reguläre Funktion w = % (£) entsteht, deren absoluter Be- 

 trag kleiner als Eins ist. so daß man den Satz i auf diese Funktion an- 

 wenden kann. Diese Bedingung braucht aber natürlich nur bei einer 

 unter den unendlich vielen möglieben Eliminationen von s und ir zwischen 

 den vorigen Gleichungen erfüllt zu sein; man muß m. a. W. das Bild 

 j des Punktes Z = o geeignet wählen. 



Ein nützlicher Spezialfall des letzten Satzes ist folgender 

 Satz 3. Es sei 9t eine Ei km anxscIi e Fläche, deren Über-! 

 lagerungsfläche 9t konform auf einen Kreis abgebildet wer- 

 den kann. Ist dann © ein zusammenhängendes Stück von 9t 

 (oder allgemeiner eine beliebige RiEMANNSche Fläche, die 

 un verzweigt auf 9t ausgebreitet ist), so ist die CAYr.Evsche 

 Länge eines beliebigen rektifizierbaren Kurvenstückes von @, 

 gemessen auf ©, immer größer als die Länge desselben 

 Kurvenstückes, wenn man die Maßbestimmung von 9t zu- 

 grunde legt, außer wenn die Überlagerungsflächen 9{ und 3 

 zusammenfallen, so daß es nur eine Maßbestimmung geben 

 kann. 



Um nämlich diesen Satz auf den vorhergehenden zurückzuführen. 

 braucht man nur @ mit" 9u und 9t mit ?l„ zu identifizieren und hier- 

 auf f{z) = z zu setzen. 



5. Nun kehren wir zu der Frage zurück, die wir im § 2 angeschnitten 

 haben, und setzen zunächst die Bedingungen für die dort betrachtete 

 EiEMANNSche FlächeSR fest, aus denen das behauptete Resultat folgen wird : 



1. Die Überlagerungsfläche 9t von 9t soll infolge der Überlegungen 

 des § 3 auf einen Kreis abbildbar sein. 



2. Die Verzweigungspunkte und Randpunkte von SR liegen nicht 

 überall dicht auf der «-Ebene verteilt, so daß es einen Kreis k mit dein 

 Mittelpunkte 31 auf dieser Ebene gibt, in dessen Inneren oder auf dessen 

 Rande kein einziger Verzweigungspunkt oder Randpunkt von 9i fällt. 



3. Jedes Kurvenstück, das in 9t verläuft, dessen Anfangspunkt 

 in M und dessen Endpunkt auf k liegt; besitzt auf dieser Fläche eine 

 C'AYLF.Ysche Länge, die eine teste positive Zahl 2h übertrifft. 



Diese drei Voraussetzungen sind offenbar für alle RiEMANNSchen 

 Flächen erfüllt, die in den PicARDSchen Sätzen vorkommen, denn dort 

 sind Figuren, die in den unendlich vielen Blättern der ÜberlagerungS: 

 fläche SR übereinander gezeichnet sind, mit endlich vielen unter ihnen 

 auch im Sinne der ÜAYLEVSChen Maßbestimmung kongruent, und der 

 CAYt.KYSche Abstand des Punktes \f vom Kreise k in allen diesen 

 Blättern liefert nur endlich viele verschiedene Zahlen, die alle von Null 

 verschieden sind: ihre untere Grenze ist daher ebenfalls positiv. 



