Caratheodory : Ober eine Verallgemeinerung der PiCARuschen Sätze "JUi 



6. Aus den Bedingungen des vorigen Paragraphen ziehen wir 

 zunächst einige rein geometrische Folgerungen. 



Wir betrachten einen zu k konzentrischen kleineren Kreis ■/. . der 

 in der (ayi.i vselien Maßbestimmung, die der durch k begrenzten Kreis- 

 scheibe angehört, den Radius e haben möge. Nach dein Satze 3 des § 4 

 hat dann in jedem Blatte der RiEMANNSchen Fläche W jeder Radius von ■/. 

 eine ÜAYLEYSche Länge, die kleiner als e ist. 



Jede Kurve, die einen Punkt von x mit einem Punkte von k verbindet 

 und auf 9ft verläuft, hat also nach der dritten Bedingung des vorigen 

 Paragraphen eine auf St gemessene CAYLEysche Länge, die größer als e ist. 



Ferner hat jedes Kurvenstück, das auf der Uberlagerungsfläche $\ 

 verläuft, und dessen Endpunkte beide auf •/. , aber in verschiedenen 

 Blättern von !li liegen, eine ÜAYLEYSche Länge, die 2s übersteigt, denn 

 ein solches Kurvenstück muß unbedingt den Kreis k schneiden. 



7. Nun sei 11 =f(z) eine Funktion, die den Bedingungen (\cs § 2 

 genügt: es ist keine Beschränkung der Allgemeinheit, wenn wir für 

 das Gebiet G die punktierte Kreisscheibe o< | c | < 1 wählen. 



Jeder Kurve <\ der z-Ebene innerhalb des Gebietes o < \z I < 1 

 entspricht, wegen der vorausgesetzten Unverzweigtheit des Flächen- 

 stückes S . wenn man es auf W ausbreitet (siehe § 2). nach dem Satze 2 

 des £ 4, eine Kurve der RiEMANNSchen Fläche SR, deren CayleyscIic 

 Länge kleiner ist als die (auf dem Gebiete o< | ~ | < 1 gemessene) 

 CAYLEYsche Länge von G z . 



Ferner entnimmt man direkt aus der Unverzweigtheit von © auf SR . 

 daß jede im Gebiete o<|~|<i verlaufende geschlossene Kurve. 

 die den Mittelpunkt z = o dieses Gebietes nicht umkreist, durch die 

 Beziehung u= f(z) auf eine Kurve der w-Ebene abgebildet wird, die 

 auf SR und sogar auf der Überlagerungsfläche SR geschlossen ist. Es is1 

 dagegen nicht selbstverständlich, daß die Bilder der Kreise \z\ = Const. 

 ebenfalls geschlossene Kurven von SR sind; dies wird erst aus unseren 

 späteren Überlegungen gefolgert werden können. 



Die ÜAYLEYSche Länge einer Kurve der punktierten Kreisscheibe 

 o<|c|<i berechnet man am einfachsten, wenn man die im Punkte 

 3 = o Logarithmisch verzweigte Überlagerungsfläche dieser Kreisscheibe 

 durch die Funktion t==Iz auf die Halbebene' SRt<ö konform ali- 

 bildet und die bekannten Formeln für die CayleyscIic Maßbestimmung 

 auf der Halbebene anwendet 1 . 



So findet man für die ÜAYLEYSche Länge des einmal durchlaufenen 

 Kreises \z\ = p die Zahl — irilp, die, wie man sieht, mit p monoton 

 gegen Null konvergiert. Setzt man also 



1 II. Potncare, Theorie des groupes fuchsiensi Acta Math., Bd. 1 (1882) p. <■. 



