208 Gesamtsitzung vom 29. Januar 1920. — Mitteilung vom 8. Januar 



so ist man sicher, daß für c<e die ÜAYLEYSche Länge des einmal 

 durchlaufenen Kreises \z\ = p kleiner als £ ist. 



8. Um nun zu zeigen, daß die Funktion u =/(.:) im Punkte 

 c = o keine wesentlich singulare Stelle besitzt, werden wir beweisen, 

 daß für \z\ <p alle Punkte u = ,/(-) der «-Ebene entweder sämtlich 

 außerhall) des Kreises x oder sämtlich innerhalb des Kreises k liegen. 

 In beiden Fällen ist nach dem elementar zu beweisenden Satze von 

 Weierstrass das Vorhandensein einer wesentlich singulären Stelle von 

 f(z) im Punkte z = o ausgeschlossen. 



Trifft nämlich unsere Behauptung nicht zu, so gibt es im Kreise 

 z I < p mindestens zwei Punkte £, und u, , so daß /(£,) innerhalb x 

 und /(£,) außerhalb k liegt. Also gibt es auf der Strecke, die £, 

 mit 'C, 2 verbindet (und von der man ohne Beschränkung der Allgemein- 

 heit annehmen kann, daß sie den Punkt z — o nicht enthält, da man 

 gegebenen Falles z.B. £, etwas verschieben kann), mindestens zwei 

 Punkte z l und z 2 , so daß /(>,) auf x und /(-,) auf k liegt. 



Der einmal durchlaufene Kreis \z\ = \z,\ wird durch die Funk- 

 tion u =f(z) auf ein Kurvenstück 7, auf der RiEMANNSchen Über- 

 lagerungsfläche Sit abgebildet, deren Endpunkte sich auf denselben 

 Punkt von x projizieren. Diese Kurve 7, hat nach den Überlegungen 

 des vorigen Paragraphen eine CayleyscIic Länge, die kleiner ist als e: 

 nach dem § 6 können ihre beiden Endpunkte nicht in verschiedenen 

 Blättern der einfach zusammenhängenden Fläche 9? liegen, woraus 

 folgt, daß 7, eine geschlossene Kurve von 9t ist. 



Da die Entfernung zwischen x und einem beliebigen Punkte von 

 y, nicht größer als e:2 sein kann, liegt kein einziger Punkt von 7, 

 auf k, und man entnimmt hieraus, daß | .s, | =j= 1 2, | sein muß. 



Wir betrachten nun in der 2-Ebene den Kreisring C, der durch 

 die Kreise \z\ = \z,\ und \z\ = \z t \ begrenzt wird. Dieser Kreisring 

 wird eindeutig auf die einfach zusammenhängende Überlagerungs- 

 fläche SR abgebildet; denn da das Bild 7, des Kreises \z\ = \z,\ eine 

 geschlossene Kurve von 91 ist, muß dasselbe für jede andere beliebige 

 geschlossene Kurve von C statt finden. 



Insbesondere entspricht dem Kreise \z\ = \z 2 \ eine auf 9t ge- 

 schlossene Kurve y 2 , deren CAYLEYSche Lange die Zahl e nicht über- 

 trifft, und die mit dem Kreise k der //-Ebene mindestens einen ge- 

 meinsamen Punkt besitzt. 



9. Die geschlossenen Kurven 7, und y 2 liegen ganz außerhalb 

 einander auf der Fläche SR, weil ja die CayleyscIic Entfernung eines 

 beliebigen Punktes von SR, der sich auf x projiziert, von einem be- 





