CaratheodoRy : FouRrERSche Koeffizienten monotoner Punktionen 559 



Über die FouRiERschen Koeffizienten monotoner 

 Funktionen. 



Von C. Oaratheodory. 

 (Vorgelegt am 3. Juni 1920 r s. oben S. 521].) 



In einer gemeinsamen Arbeit haben Hr. L. Fejer und ich 1 die Bedin- 

 gungen untersucht, denen die FouRiERschen Koeffizienten von mono- 

 tonen, stetigen, stetig differentiierbaren und beschränkten Funktionen 

 genügen. Als ich diese Fragestellung auch auf beliebige monotone 

 Funktionen, also auf solche, die nicht notwendig stetig oder beschränkt 

 sind, ausdehnen wollte', wurde ich dazu geführt, eine längere Unter- 

 suchung vorzunehmen, die aber eine Anzahl von erwähnenswerten und 

 vielleicht auch sonst brauchbaren Nebenresultaten enthält und die ich 

 deshalb auf den nächsten Seiten wiedergeben will, 

 i. Die FouRiEHScheri Koeffizienten 



".. = - I Ht)dt 



27T / 



a. k = * I /,(t) cos ktdt ä k = - | X(t) sin ktdt k=i, 



einer monoton wachsenden und über das Intervall o < t < 2w summier- 

 baren Funktion sind unabhängig von den Werten, die diese Funktion 

 in ihren höchstens abzählbar vielen Unstetigkeitsstellen -annimmt. An- 

 derseits aber ist in jedem Punkte des Intervalls die Gleichung 



'A(t + 0)-i-'A(t — O) ^ , , 



(2) — = a -+- > u k cos kt-\-a k sin kt 



erfüllt und daher K(t) in allen ihren Stetigkeitspunkten durch ihre 

 FouRiERschen Koeffizienten eindeutig definiert. 



1 Über den Zusammenhang der Extremen von harmonischeu Funktionen mit 

 ihren Koeffizienten und über den Picard-Lanh Auschen Satz (Rendic. del Circ. matem. 



di Palermo, Vol. XXXII, 191 1 ) §12 p. 238. 



