560 Sitzung der phys.-math. Klasse vom 17. Juni 1920. — Mitt. vom 3. Juni 



2. Wir nennen nun eine Folge von monotonen Funktionen X, (t), 

 K(t). • • • , die alle im Intervalle o <t < 2?r gegeben sind, konvergent, 

 falls eine monotone Funktion 'A(t) existiert, so daß für jeden Punkt 

 dieses Intervalls die Bedingungen 



(3) > (t — o) < YmK{t) S lim A„(0 < /.(t + o) 



erfüllt sind. In allen Stetigkeitspunkten von /.(/) gilt dann insbe- 

 sondere die Gleichung 



lim Ä n (t) = 'A(t). 



Mit dieser Definition der Konvergenz gilt der 



Satz i. Für die Konvergenz einer Folge von monotonen 

 Funktionen ist notwendig und hinreichend, daß für abzahl- 

 bar viele überall dichte Punkte Tj des Intervalls, in dem die 

 Funktionen gegeben sind, die Grenzwerte 



hin /.„ (t) — 1 



existieren und endlich sind. 



Durch die Zahlenfolgen Tj und lj wird nämlich eine Klasse von 

 monoton wachsenden Funktionen \{t) im Intervalle o<£< 277 defi- 

 niert, die in ihren Stetigkeitsstellen alle einander gleich sind. Für 

 alle diese Funktionen sind ferner die Zahlen X(t — o) und ä(/-ho) 

 überall dieselben. Ist dann t irgendein Punkt des gegebenen Intervalls 

 und sind p und q irgend zwei natürliche Zahlen, für welche o < r„ < t 

 < r y < 2 7!- ist, so folgt unsere Behauptung aus den Relationen 



l f ^ Um K(t) S Tim K„(t) < l q 



verbunden mit der Tatsache, daß K(t — o) gleich der oberen Grenze 

 aller l p und A(t-+-o) gleich der unteren Grenze aller L ist. 



3. Ein großer Teil der folgenden Untersuchungen beruht nun 

 auf dem 



Satz 2. Es sei A n (t) eine Folge von monoton wachsenden 

 Funktionen und 



(4) \KV)\ <*(*), 



wobei k{t) eine über das Intervall o<(f<27r .summierbare 

 Funktion bedeutet; ferner seien a no , a nk , ä nl . die FouRiERSchen 

 Koeffizienten der Funktion X n (f). Die betrachtete Funktions- 

 folge konvergiert dann und nur dann im Sinne des vorigen 

 Paragraphen, wenn die Grenzwerte 



(5) hm <7„ = ", lim a„ t . = a k lim S ni = S k 



