Cara theodory: FouRiEKsehe Koeffizienten monotoner Funktionen -)(> 1 



existieren und diese Grenzwerte sind stets die FouRiERSchen 

 Koeffizienten jeder möglichen Grenzfunktion ~/,(t). 



Es ist selbstverständlich, wenn die Funktionen h n (t) gegen eine 

 Funktion Ä(/) konvergieren, daß diese wegen (4) summierbar ist, und 

 die Gleichungen (5) folgen dann unmittelbar aus einem klassischen 

 Satze von Lebesgue. Die Konvergenz der FouRiERSchen Koeffizienten 

 von A„(^) ist sogar gleichmäßig (d. h. die Annäherung ist unabhängig von 

 k), denn die Zahlen \a„ k — a k \ und \ä, lk — ä k | übertreffen nicht das Integral 



— I \K(t) — Mt)\dt, 



tlas mit n gegen Null konvergiert 1 . 



Umgekehrt kann man aus einer Folge von Funktionen >•„{(). für 

 welche die Relationen (4) und (5) erfüllt sind, durch das Cantor-Hil- 

 BERTSche Diagonalverfahren Teilfolgen aussondern, die in einer über- 

 all dichten abzählbaren Punktmenge und daher, nach dem Satze 1, 

 überhaupt konvergieren. Die FouRiERSchen Koeffizienten der Grenz- 

 funktion sind aber nach dem Obigen, für jede dieser Konvergenten Teil- 

 folgen, die Zahlen a, , a k , ä k selbst, und daher ist diese Grenzfunktion 

 Ä(/), wenn man von ihren Unstetigkeitsstellen absieht, für jede derartig 

 gewählte Teilfolge stets dieselbe. Mit Hilfe der Annahme, daß die ge- 

 gebenen Funktionen A n (t) nicht gegen Ä(t) konvergieren, würde man aber 

 eine konvergente Teilfolge von A,(/), A 2 (t), ■ ■ ■ konstruieren können, die 

 in einem Stetigkeitspunkte t von A{t) gegen eine von a(Q verschiedene 

 Zahl und daher im Widerspruch mit dem soeben erhaltenen Resultat 

 nicht gegen ~A(t) konvergieren würde. Hiermit aber ist der angekün- 

 digte Satz bewiesen. 



Bemerkung 1. Falls die Relation (4) nicht gilt, braucht der 

 Satz nicht richtig zu sein. Es sei z. B. A n (t) gleich Null im Intervalle 



1 



0</< 27T 



n 



und gleich 2~n im Reste des Intervalls o < t <. 2t. Dann konvergiert 

 einerseits /.„(/) gegen Null, während man anderseits in den Gleichungen 

 (5) zu setzen hat 



a = 1 a k = 2 ä h = o . 



Ebenso ist cos x , cos 2 x , cos 3 x , ■ ■ ■ ein Beispiel für eine nicht kon- 

 vergierende Folge von beschränkten, aber nicht monotonen Funktionen, 

 deren FouRiERsehe Koeffizienten gegen Null konvergieren. 



1 Siehe meine Vorlesungen über reelle Funktionen (Leipzig 11. Berlin. Teubner, 

 1918) ^ 402. 



