Caratheodory: FouRiERSche Koeffizienten monotoner Funktionen ;)(>.•> 



Ferner folgt aus (8), daß die FouRiEKSchen Koeffizienten von Ä(r,S-), 

 die von r abhängen, gegen bestimmte Zahlen konvergieren, wenn r 

 gegen Eins konvergiert. 



Mit Hilfe des Satzes 2 sieht man also, daß für alle Punkte des 

 Intervalls o < t < 2 tt außer höchstens für abzählbar vielen unter ihnen 

 der Grenzwert 



(11) Ihn A(r . t) = X(t) 



existiert, wobei Ä(/) eine monotone aber nicht notwendig stetige Funktion 

 bedeutet. Die Funktion K(t) ist beschränkt, denn man hat nach (10) 

 und (11) 



(I 2} A(/) < Ä(277 — O) < 27r6 . 



5. Ist nun z eine komplexe und p eine positive Zahl, die den 

 Bedingungen 



genügen, so besteht bekanntlich die Gleichung (deren reeller Teil mit 

 der Poisso.vschen Formel zusammenfällt) 



27TJ pe — z 277 J pe — z dt 



Durch partielle Integration erhält man 



■l z)= F - b - \ Ti ^r Hp,t)dt, 



p — 2 2TTJ dt pe — z 



oder wenn man jetzt gegen Eins konvergieren läßt, 



. ,1+2 1 (' d 1 +zr'' 



(13) l(:)=b — _,, At)dt . 



1 — z 2-J dt 1 — ze 



Diese letzte Gleichung kann mit Hilfe eines SriEmjEschen Integrals auch 

 folgendermaßen geschrieben werden. Man definiere eine nicht negative 

 Zahl .< durch die Gleichung 



(14) 2-H = A(2- — O) 



und bemerke, daß wegen (12) 



(15) & >.s 



ist; dann folgt aus (13) durch eine partielle Integration 



■ , 1 -+- - 1 /" 1 -4- ze~' f , 



(16) li:) = (b,-s) + _„<'Mt). 



, , 1 + c 1 / 1 -+- ze 



4 / (z)==(b -s) + 



1 — z 2 77 J 1 — ze 



