564 Sitzung der phys.-math. Klasse vom 17. Juni 19^0. — Mitt. vom 3. .Iiuii 



Eine noch einfachen' Schreibweise dieser letzteren Formel er- 

 hält man, wenn man die monotone Funktion X(t) nicht nur im Inter- 

 valle o < t < 2~ , sondern in der Punktmenge o < t< 2- definiert, in- 

 dem man 



Ä(2-) = K(2w — o) + 2 7r(b —s) 



setzt. Mit dieser Annahme wird das Glied außerhalb des Integrations- 

 zeichens nicht mehr geschrieben 1 : für unsere Zwecke ist aber die 

 Gleichung ( 1 6) bequemer. 



6. Ist umgekehrt K(t) eine im Intervalle o < t <L 2- definierte be- 

 liebige beschränkte monotone Funktion und b eine positive Zahl, die 

 den Bedingungen (14) und (15) genügt, so stellt die durch eine der 

 Gleichungen (13) oder (16) definierte Funktion 4 / { z ) eme hn Einheits- 

 kreise |^|<i reguläre analytische Funktion dar, deren reeller Teil 

 positiv ist. Denn die Funktion 



hat in diesem Kreise einen positiven reellen Teil, falls t reell bleibt. 



7. Wir wollen jetzt zeigen, daß in den Gleichungen (13) und 

 (16) die Zahl b eindeutig und die monotone Funktion A(t) in ihrem 

 Definitionsbereich bis auf eine additive Konstante bestimmt ist, wenn 

 man sich -^{z) gibt. 



Wir führen dazu nach den Formeln (1) die FouRiERSchen Koeffi- 

 zienten von K(i) ein, setzen 



(17) * k = a k — iä k (A-= 1 . 2, ■■•) 

 und betrachten die Funktion 



(18) $(z) = ^ + 3£**j*. 



Durch Koeffizientenverglfcichung sieht man. daß diese (deichung auch 

 geschrieben werden kann 



(19) <mo = — - m<n. 



2 - J 1 — z e 

 woraus folgt, daß <p{z) für | z\ < 1 regulär ist. Nun bemerke man. daß 



d 1 -+- ze~" d 





dt 1 — : : 1 — ze~* 



Siehe Herglotz, a. a. ( ). p. =; ' ' - 



