Cakatheodory: Fui Kii.Ksclie Koeffizienten monotonei' Funktionen ,)().) 



Man kann also, wenn man sich der Gleichung (19) bedient, statt 

 (13) schreiben 



(20) 4,(3) = b °~r 2 -«-*« •*>'(*) 



Hieraus kann man aber b und die Koeffizienten <t k von <p{:) 

 aus der Potenzreihenentwicklung von \£(~) entnehmen, woraus folgt, 

 daß die FouRiERSchen Koeffizienten von Ä(t) mit Ausnahme von a 

 eindeutig bestimmt sind. Die Funktion a(() ist also durch die Formel 

 (13) in allen ihren Stetigkeitsstellen definiert und muß notwendiger- 

 weise mit der Funktion zusammenfallen, die man durch die Grenz- 

 prozesse (9) und (11) erhält. 



Wir haben schließlich den 



Satz 3. Jeder im Einheitskreise |-|< 1 regulären ana- 

 lytischen Funktion -1 { z) mit positivem reellen Teil wird 

 durch die Gleichungen (9) und (11) eine monotone, be- 

 schränkte Funktion X(t) eindeutig zugeordnet. Ebenso werden 

 jeder im Intervalle o < t < 2 - definierten beschränkten 

 monotonen Funktion X(t) für hinreichend große b reguläre 

 analytische Funktionen 4 / ( z ) mi ^ positivem reellen Teil durch 

 die Gleichung (13) eindeutig zugeordnet. Jede dieser For- 

 meln ist die Umkehrung der anderen. 



8. Einer konvergenten Folge von gleichmäßig beschränkten mono- 

 tonen Funktionen ?^(f), X 2 (/), ••• und einer solchen von positiven 

 Zahlen b , , b 01 , ■■ ■ entspricht vermöge der Gleichung (13) eine kon- 

 vergente Folge von analytischen Funktionen 4v(2), ^ 2 (~), •••• 



Umgekehrt alter entspricht einer konvergenten Folge von Funk- 

 tionen -^„{z) eine ebensolche von monotonen Funktionen \{t), falls 

 man die willkürliche additive Konstante, die man diesen Funktionen 

 hinzufügen darf, so bestimmt, daß in der FouRiERSchen Entwicklung 

 der ?.,,(t) die konstanten Glieder eine konvergente Folge von Zahlen 

 bilden. 



Die monotonen Funktionen ?.„(() sind nämlich unter diesen Vor- 

 aussetzungen gleichmäßig beschränkt, da wegen (1 2) und der Konvergenz 

 der v-„(.c) ihre Variation (/.„(2~) — A„(o)) gleichmäßig beschränkt ist. 

 und außerdem nach unserer letzten Forderung die Zahlenfolge 



I KM) dt = ÖU <»« = 1,2,...) 



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ebenfalls beschränkt ist. Anderseits konvergieren wegen (20) die Fourier- 

 schen Koeffizienten der Folge ?~„(t) , so daß man den Satz 2 hier an- 

 wenden kann. 



