r»(!(i Sitzung der phvs.-math. Klasse vom 17. .luni 19:20. — Mitt. vom 3. Juni 



9. Unsere bisherigen Resultate lassen sich auch folgendermaßen 

 aussprechen: 



Satz 4. Dafür, daß die Zahlen der Folge a, , ä, , a 3 , ö 2 , • • • 

 die FouRiERSchen Koeffizienten einer beschränkten mono- 

 ton wachsenden Funktion Ä(/) seien, ist notwendig und hin- 

 reichend, daß mit den Bezeichnungen 



<** = a k — ir/,. 



</>(*) = 2**** 



die Funktion 



■<l(z) = b - + iz<p (z) 



für hinreichend große positive b einen positiven reellen 

 Teil im Einheitskreise \z | < 1 besitze. Die untere Grenze der 

 Zahlen 2~b , für welche dies der Fall ist, stellt die Variation 

 (X(2- — o) — A(o)) der Funktion Ä(/) im Intervalle o<t<2ir dar. 



Dieser Satz ist wegen des Erscheinens der Unbestimmten b a recht 

 unbequem; wir müssen daher versuchen, diese Größe zu eliminieren, 

 was auf folgendem Wege gelingt. 



10. Wir setzen 



_ 1 +e-"s _ (i+f 'tld-^ :) 



(2 1) P (Z) - l _ e -U z - (I _ p -i< z){l _ e « z) » 



woraus folgt 



(I — 2 COS t • Z -+- 2 2 ) j9 (2) = ( I — -*) — 2 iZ • sill / 



oder 



(1 — z 2 ) — (1 — c) 2 /?(c) = 2c ! (1 — cos Qp (»-*-£ sin / J , 



woraus endlich folgt, wenn man noch p(o) = 1 berücksichtigt, 



(22) —p{p)—p{z) L=^(^)(i — cos *)•+-« sin t . 



2Z \ I S I 



Nach der Gleichung (16) kann man jeder im Einheitskreise regulären 

 analytischen Funktion J-(c) mit positivem reellen Teil eine monotone 

 Funktion X(t) zuordnen, für welche 



(23) -1(2) = (b,—s)—— + - -- fp(z)dX(t) 



I — Z 21V I 



ist. Setzt man nun 



(24) 



/J--I = — | ] _\l(o) — t(z) . 



