568 Sitzung der phys.-math. Klasse imn 17. Juni 1 920. — Mitt. vom 3. Juni 



Ist umgekehrt fx(t) eine beliebige monotone Funktion für welche das 

 Integral 



(33) /•(/) = ' 



im Intervalle o</<27r eine beschränkte Funktion darstellt, und be- 

 rechnet man mit Hilfe der Gleichungen (30) und (26) die Funktion 

 cp(z), so wird bei geeigneter Wahl von </j(o) die FouEiERSche Ent- 

 wicklung von X(t) durch die Gleichung 



gegeben. Setzt man nämlich 



1 fe" + z 



0U) = — -n Ht)dt 



27r / e — z 



und 



(1— ~) : , 



so folgt aus unseren Annahmen %(z) =.%(z) und daher f' (z) = </>'(c) . 

 wodurch die Behauptung bewiesen ist. Wir haben also den 



Satz 6. Dafür, daß die Zahlen o k ,ä k . die FooRiERSchen 

 Koeffizienten einer beschränkten monotonen Funktion dar- 

 stellen, ist notwendig und hinreichend, daß mit den frühe- 

 ren Bezeichnungen die Funktion %(z) im Einheit skreise einen 

 positiven reellen Teil habe und daß außerdem das Integral 

 (33) beschränkt sei und die Gleichung (32) bestehe. 



12. Wir wollen zum Schluß noch den Fall betrachten, daß Ä(/) 

 nicht mehr beschränkt ist. Ist X(t) über das Intervall o</< 2- suin- 

 mierliar. so kann man eine Folge von gegen K(t) konvergierenden be- 

 schränkten monotonen Funktionen /., (/) , \(t) . • • • konstruieren, fürweiche 

 stets |/.„(()|^a(/) ist. Die Fot-RiERschen Koeffizienten a nk , ä nk . der Funk- 

 tionen >.„(() konvergieren mit wachsendem n gegen diejenigen von X(t) , 

 die wir wieder mit a k . u, bezeichnen wollen. Ordnet man wie früher 

 der monotonen Funktion Ä(/) die analytischen Funktionen <p(z) und 

 yjz) zu und den Approximationsfunktionen /.„(/) die analogen Funk- 

 tionen f n (z) und %„(:). so konvergieren die Koeffizienten von % n (z) 

 gegen diejenigen von %(z) . Außerdem ist der reelle Teil von % n (z) 

 positiv im Einheitskreise und die Koeffizienten dieser Potenzreihe sind 

 daher, wie eine elementare Abschätzung zeigt, absolut genommen höch- 

 stens gleich zweimal dem reellen Teil ihres konstanten Gliedes: hieraus 



