CaratheodüRy : FouRiERSche Koeffizienten roonol :r Punktionen Duo 



folgt, daß die Koeffizienten der % n (z) gleichmäßig beschränkt sind und 

 daß also im ganzen Inneren des Einheitskreises 



\in V/j „(;) = V J:) 



ist. Also ist der reelle Teil von x>(z) ebenfalls positiv, 

 l 3. Setzt man nun 



(.34) M/|=j /.(/),//. 



so ist diese Funktion stetig und beschränkt und überall differenziier- 

 bar, außer höchstens in einer abzählbaren Punktmenge. Infolgedessen 

 kann man schreiben 



| \ cos kßfZ = — k\ A sin ktdt-t- I Ä eos ktdi . 



woraus folgt 



1 /'»■// // A(2tt) — A(o) . a k 



(35) - A sin ktdt = — 



-k k ' 



und ähnlich erhält man 



... ,. , , - , ä/c A(2tt) — A(o) a k , 



Die Zahlenfolgen — — , — - — h — - sind also die Foukier- 



k - k k 



sehen Koeffizienten, einer beschränkten Funktion. Nun besitzt aber 

 die im Intervalle o<jf<2- beschränkte Funktion 



A(2-)-A(o) 



(t — TT) 



277 



v 1' i v ea ■ ° A(2tt)— A(o) 



die b OüRiEHScnen Koeffizienten—-, — - — und hieraus folgt, 



k 77 k 



daß auch die Zahlen — — , — selbst die FotmiERschen Koeffizienten 



k k 



einer beschränkten Funktion sind. 



14. Wir geben uns nun eine Folge von Zahlen u k , u k . von der 

 wir nur voraussetzen, daß mit unseren früheren Bezeichnungen M %(z) > o 

 für \z\ < I ist. 



Der Funktion /J:) entspricht nach dem Satze 3 eine monoton 

 wachsende beschränkte Funktion ix(t). Setzt man nun 



