CaratheodorY*: foiJRiERSche Koeffizienten monotoner Funktionen .) i 1 



ton wachsende Folge r," , r" • ■• • , so daß stets -[. < r" ist und außerdem 

 fj.(t) in diesen Punkten stetig ist und setzen 



u u (t) = \J.{r' n ) für o < t<T n 



u n (t) = u(t''\ » r„'~ \t< 2-. 



und fx B (£) = i*(t) in den anderen Punkten des Definitionsbereichs voii 

 u(t) . Ferner führen wir die Funktionen ein 



(39) 



i /" i -he~ u z , 



C dy.Au) (' 



(40) XJt) = A„ = K n (u)du 



1 1 — eos v J 



und bemerken, daß stets | A„ | < | A | und daß Ihn A n (t) = A(t) ist, woraus 



folgt, daß man die FouRiERSchen Koeffizienten von A(^) als Grenzen der 

 FouRiERSchen Koeffizienten von A„(^) erhalten kann. Ebenso konver- 

 gieren, wenn man vom imaginären Teil des konstanten Gliedes ab- 

 sieht, die Koeffizienten von %„(-?) gegen diejenigen von %(z) . 

 16. Setzt man 



S — ia. „ 



(41) x,( z )=- — -hä t z-h8 x z*-\ . 



2 



sn folgt aus der Gleichung (26) 



(42) 4 = - ( 2 kx b — (k + i)a, k+r — (k— !)«»_,) , 



und diese Formel gilt auch für k = o und k = 1 . falls man für a, eine 

 beliebige Zahl wählt und u_ 1 durch die Gleichung 



(43) ec_, = a,-t-iä, 

 definiert, woraus insbesondere 



folgt. Umgekehrt kann man die Zahlen x k für positive k berechnen, 

 sobald man c/, und die 6 k kennt, denn aus (42) folgt 



ä, = «, + i6 



2 u 2 = 2 (a, -t- i$ ) -+- 2 ir>, 

 und allgemein 



(44) ku k = /,•((?, -t-/d )-+- 2i((k— i)6, + (k— 2)ö 2 + • ■ • -+- 2^._ 2 -+-d / ,_ ,) . 



