Caratheodory: FouRiERSche Koeffizienten monotoner Funktionen 5/3 



Aus den letzten fünf Paragraphen folgt also das Resultat: 

 Satz 7. Die Zahlenfolge a k , ä k kann nur dann die Fou- 

 RiERSchen Koeffizienten einer im Intervalle o<£<2tt sum- 

 mierbaren monoton wachsenden Funktion darstellen, wenn 



a) die Zahlen 



k ' k 



die FouRiERSchen Koeffizienten einer beschränkten Funktion 

 sind, und 



b) die Funktion 



(47) 



yM) = — -+- K z ■+■ K z ' + 



2 



** = —(2*** — {k-*-i)ot k+l — (k—i)ct i _,) 



q, k = a k — ia k ol = o a_, = %-+-<«, 



im Kreise |ä|<i einen positiven reellen Teil besitzt. 



Sind umgekehrt diese beiden Bedingungen erfüllt, so 

 gibt es genau einen reellen Wert von s, für welchen die 

 Zahlen (s + a k ), ä k die FouRiERSchen Koeffizienten einer sum- 

 mierbaren monoton wachsenden Funktion bedeuten. 



In diesem Satz ist das Auftreten der Zahl s selbstverständlich, 

 wenn man beachtet, daß beide Bedingungen a) und b) durch das Er- 

 setzen von a k durch (s-ha k ) nicht berührt werden. Ebenso trivial ist 

 die Behauptung, daß es nur höchstens einen Wert von s geben kann, 

 der den Bedingungen des Satzes genügt: gäbe es nämlich zwei der- 

 artige voneinander verschiedene Werte, so müßte die trigonometrische 

 Reihe mit den Koeffizienten c k = s 2 — s, , c k = o eine summierbare 

 Funktion darstellen, was nicht der Fall ist Die Bedeutung des Satzes 

 liegt also ausschließlich in der Behauptung, daß die Existenz einer 

 Zahl s sichergestellt ist, sobald die Bedingungen a) und l>) unseres 

 Satzes erfüllt sind. Es ist nicht schwer, in jedem einzelnen Falle die 

 Zahl s mit ähnlichen Mitteln, wie sie Hr. Fejer und icli in der am 

 Anfang dieser Mitteilung zitierten Arbeit benutzt haben, zu berechnen; 

 ich möchte aber diese Berechnung im Zusammenhang mit anderen Be- 

 trachtungen, die hier ihren Platz nicht haben, ausführen und auf eine 

 spätere Gelegenheit verschieben. 



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