F. Bernstein: Die Integralgleichung der elliptischen Thetanullfunktion täi» 



Die Integralgleichung 

 der elliptischen Thetanullfunktion. 



Von Prof. Dr. F. Bernstein 



in Göttingen. 

 (Vorgelegt von Hm. Schmidt am 5. Februar 1920 (s. oben 8. 211].) 



Einleitung. 



Üdn Wärmeleitungsproblem, das von physiologischer Seite gestellt 

 wurde, gab Veranlassung, einige Eigenschaften der Thetafunktionen 

 genauer zu untersuchen, die zur Aufstellung der im folgenden behan- 

 delten Integralgleichung führten. Es fand sich das überraschend 

 einfache Resultat, daß die elliptische Thetanullfunktion 9-(t) 



-4- co 



= ^e~" 2 "'' der Integralgleichung von VotTERRASchem Typus 1 



&*$— 2t$ + $* I — I == O (I) 



oder in gewöhnlicher .Schreibweise 



t t 



f&(T)&(f— T)dr— 2t$ + (&(T)dT— i =o (i/) 



genügt, wobei die Integrationswege 2 auf den Streifen o<5Rt<91/ 

 zu beschränken sind. 



Diese Relation ist an sich auch für den Kenner der Voi.TERRASchen 

 Theorie auffallend, da diese letztere von ihrem Begründer nur für 

 die Fälle ausgebildet war, in denen sich ganze transzendente Funk- 

 tionen als Lösungen ergeben. 



Die Entdeckung der Integralgleichung (i) mit einer bekannten 

 klassischen Funktion als Lösung zeigt, daß die Voi/rERRAsehe Theorie 

 in bestimmter Richtung einer fruchtbaren Ausdehnung fähig ist. Bevor 

 wir jedoch diese nach einer systematischen Methode entwickeln, 



1 Vgl. Volterra, Legons sur les equations in'i'-grales et les equations integro- 

 diflerentielles, Paris 1913, und Legons sur les fonctions de lignes, Paris 1913. 



I—! t 



2 Die uneigentlichen Integrale sind durch lim f, bzw. Uoij{e reell und >o) 

 zu definieren. 



ri4* 



