F.Bernstein: Die Integralgleichung der elliptischen ThetanulUunktion 730 



Nachweis der Eindeutigkeit der Lösung von Gleichung (2). 



H-co 



Durch die Substitution e - ^' = h geht die Reihe 3-(/) =^e - " 2 "" 



in die für o<|A|<i konvergente Potenzreihe 9- ( lg A I =^ h" 2 



00 \ / — 00 



= 1 + 2 ^ h ni über. Um die ihr entsprechende Integralgleichung aus 



(i') abzuleiten, setzen wir 



e~^=k, dr = d ^ r , ^(—~\gk\=f(k) 



~ k \ 7f' I 



und erhalten 



C' , Jh\ dk , , fdk f dk 

 f(k)f [j) 1 ~ 2f(h) ' ^ + ' f{k) -£" " 



k ] JX ' k 



wobei h in dem Gebiet o<|A|< 1 variieren kann. 

 > +00 



Die Integrale sind für die bekannte Lösung ^/t n " uneigentlich 



und sollen im folgenden durch die Gleichungen 



allgemein definiert werden, wobei £ durch reelle positive Werte gegen 

 1 wachsen soll. Es besteht der 



Satz: Die einzige im Innern des Einheitskreises reguläre 



Lösung der Integralgleichung (2), für welche diese im Sinne 



-+- 00 

 der Definition (a) besteht, ist f(h) = ^A" J . 



Wir bemerken übrigens, daß eine im Innern des Einheitskreises und 

 im Punkte 1 reguläre Lösung, für die die Integrale sämtlich eigentliche 

 sein würden, unmöglich ist, da für h -» 1 die Integrale infolge der vor- 

 handenen Konstanten ir* nicht sämtlich zu Null werden dürfen. 



Den Integrationsweg für alle Integrale beschränken wir auf den 



Kreisring |A|<|A"|<i, da der Integrand f(k)f[ -r ) nur hier als re- 

 gulär vorauszusetzen ist. 



