f. Bernstein: Die Integralgleichung der elliptischen Thetanullfunktion /41 

 Nach Voraussetzum;- existiert 



lim I "V n„k" 'dk = lim "V — -<5" 



Da a n positiv oder o ist, so gilt die Umkehrung des AäELschen Stetig- 



• ^ «„ 



keitssatzes (Pringsheim), d. h. ^ — konvergiert. 



Unsere 2. Gleichung 

 lim I **>' a„.a n h'"k"~ m ~ I dk + lim \'^ i a n k n ~ I dk — v* = o 



erhält also die Gestalt: 



lim S - JLJL iP - T ^ + I ~2f Ä x = °' 



konvergiert für | z | < 1 . Denn ^ —konvergiert, 



Ferner ist, da o < o„ < 2 ist : 



m — n 



= 2 h Z - 



m 



. 11 



<2m + 



1 ^ ö » 7^ 



> — < Km 



m ~* n. 



m Jmm n 



Nun ist aber ^^ a OT • ?re • | ^ | "* für | # | < 1 konvergent, also auch 



V 



a„ 



n — m 



Es folgt a fortiori, daß bei 



1 auch 



'S — $" absolut konvergiert. Die obige Gleichung 



6 ) ~ o n — m 



kann somit in der Form geschrieben werden: 



,. ^ »„,0» imSn-v, 1. "^ a <« a n lm ( l 



hm 2 > h'"6" m + hm 2 > h [-$- 



* = « T* n — m *=i T - m — m \ö 



n — m \d 



% a„ ^u o 



> > — h" — w 2 = o . 



■"^ n ■"•* m. 



