F.Bernstein: Die Integralgleichung der elliptischen Thetanullfiinktion 745 



gleichen Geschlecht 1 wie <p, also folgt durch abermalige Anwendung 

 des LAGUERKESchen Satzes, (laß <f>'' nur reelle Wurzeln hat, die außer- 

 dem immer zwischen 2 Wurzeln von <// liegen. Diese Wurzeln sind 

 also gerade die uns schon bekannten o und ±yc n , andere Wurzeln 

 sind bei <p" nicht, vorhanden. <p" und </> haben somit sämtliche Wur- 

 zeln gemein. 



Es muß also (p"(z) = / ,;) -(|i(z) oder, da c/>" und (p gleiches Ge- 

 schlecht haben, <p"(z) = Ce a '(j>(:). mithin, da cp und </>" ungerade sind, 



<p"\z) = C <p(z) 



sein. Die Lösung dieser Differentialgleichung lautet 



<p(z) = Acos C'z + Bs'm C z 



( Vc\ 



I C = — — I • Da </> eine ungerade Punktion ist, so ist A = o, also 

 (f>(z) = £sin C'z. 



TT 



Die Nullstellen o, ±v— 7 (v = 1 . 2. . . .) dieser Funktion müssen die 

 Zahlen o, ±Yc„ sein. Also ist 



Wegen (.0') ist 





$■£_ 



C'- 2 



also 



mithin 



Damit ist unsere Behauptung bewiesen. 



Es bleibt nun noch die Möglichkeit a a = o zu erledigen. Wir 

 werden sehen, daß dieser Fall ausgeschlossen ist. 



Aus (7') und (6) folgt hier 



1 Vül. BÖKEL, I. C. 



